Волны при наклонном падении на границу раздела сред
1. Предварительно определим вид уравнения плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении относительно осей координат (рис. 3-49). Пусть в момент начала наблюдения передний фронт плоской электромагнитной волны проходит через начало координат (положение 1). За время t волна доходит до положения (2), находящегося на расстоянии b от начала координат. Введем единичный вектор n, перпендикулярный волновой поверхности. Комплексная амплитуда, например, напряженности электрического поля волны, распространяющегося в направлении n, выражается уравнением = e-gb, (1*) где g = a + ik – постоянная распространения. Модуль радиус-вектора b = bn, т.е. длина b, можно выразить через направляющие косинусы углов между вектором n и положительными направлениями осей координат. Если угол между осью x и n равен q, между осью y и n равен b, между осью z и n равен y, то b = x cosq + y cos b+ z cos y = p x +m y +v z. (2*)
Направляющие косинусы. В декартовой системе координат радиус-вектор b =xi+ yj + zk, где i, j, k – орты в направлении, соответственно, осей x, y, z. Пусть углы между радиус-вектором b и осями x, y и z соответственно равны q, b, y. Проекции b на оси: x = b cosq, y = b cosb, z = z cosy. Косинусы cosq, cosb, cosy называются направляющими косинусами, определяющими направление вектора в выбранной системе координат. Радиус-вектор теперь можно записать в виде: b= (b cosq )i + (b cosb )j+ (b cosy )k. Введем единичный радиус-вектор n, направленный так же, как и вектор b, т.е. у вектора n те же направляющие косинусы, что и у вектора b. Имеем: n =1cosq i + 1 cosb j+ 1 cosy k. Образуем скалярное произведение векторов bи n bn =b = (xi+ yj + zk) (cosq i + cosb j+ cosy k) = = x cosq + y cosb + z cosy . (3*) Итак, модуль радиус-вектора bопределяется выражением b = x cosq + y cosb + z cosy . Для краткости записи направляющие косинусы часто обозначаются буквами. Например, в выражении (2*) косинусы представлены буквами cosq = p, cosb = m, cosy = v, а модуль радиус-вектора bзаписан соответственно в виде b = p x +m y +v z. В качестве иллюстрации сказанному приведем пример определения направляющих косинусов вектора E в плоскости x0y (см. рис. 3-50) в зависимости от заданных углов p = cosq = - cosf = - sinb ; m = cosb = sin f = sina .
Уравнение для комплексной амплитуды (1*) запишем с учетом (2*): = e-gb = e-g (x cosq + y cosb +z cosy). (4*) В отсутствии затухания (a = 0 и g = a + ik = ik) = e-ikb = e-i k (x cosq + y cosb +z cosy) , (5*) где: 1) волновой вектор k= kn определяет направление распространения волны (k = - волновое число, l - длина волны). Уравнение (4*) определят напряженность поля в любой точке волновой поверхности. Действительно, для любой точки волновой поверхности (2), определяемой радиус-вектором r, скалярное произведение nr=r cosj = b. Следовательно, kb = k r cosj =kr = knr , поэтому = e-ikb = e-ikr= e-iknr= e-i k (x cosq + y cosb +z cosy). Так как скалярное произведениеkr = kxx + kyy + kzz, то из последних соотношений получим: k cosq = kx; k cosb = ky; k cosy = kz. (6*)
2. Наклонное падение плоской электромагнитной волны на границу раздела сред (волна поляризована нормально к плоскости падения волны). Рассмотрим ситуацию, когда вектор напряженности электрического поля волны Eперпендикулярен плоскости падения волны (рис. 51). Такая поляризация называется перпендикулярной или горизонтальной поляризацией. Плоскости падения волны - плоскости, образованные падающим лучом, отраженным лучом и нормалью, восставленной в точке падения луча. Плоскости падения на рис. 51 параллельны координатной плоскости Z0Y. Запишем комплексные амплитуды векторов E и H падающей (вектор Пойнтинга П1/), отраженной (П1//) и преломленной (П2) волн. Направление вектора Пойтинга перпендикулярно волновому фронту и соответствует направлению единичного вектора n, введенного впредыдущем пункте данного параграфа. На рис. 51 q / = q // =q - закон отражения. Ниже этот закон выведен из уравнений для вектора напряженности электрического поля Из рис. 51 следует, что направляющие косинусы падающей волны П1/ p = 0; m = sinq /; v = - cosq /. В соответствии с уравнением (4*), приведенным в пункте 1 данного параграфа, комплексные амплитуды падающей волны запишутся в виде = , = . Направляющие косинусы отраженной волны П1// p = 0; m = sinq // ; v = cosq //.
Комплексные амплитуды отраженной волны = , = . Результирующее поле в первой среде равно сумме падающей и отраженной волн. Напряженность электрического поля в обеих средах имеет проекцию только по оси x (напряженность электрического поля в обеих средах параллельны плоскости раздела сред и имеют на границе сред только тангенциальную составляющую) = + = + . (130) Напряженность магнитного поля имеет проекции по осям y и z (рис. 3-51): = - = [ - ], (131) = + = [ + ]. (132) Во второй среде есть только преломленная волна. Направляющие косинусы преломленной волны П2 p = 0; m = sinf ; v = - cosf. Комплексные амплитуды преломленной волны = = , (133) = . (133*) Магнитная составляющая также имеет проекции по осям y и z = . (134) = . (135)
На границе раздела сред тангенциальные (касательные) составляющие напряжения электрического и магнитного полей в первой и второй среде равны. В соответствии с граничным условием непрерывности тангенциальной составляющей имеем для электрического поля при z = 0 соотношение + = . (136) Уравнение (136) должно выполняться при любых значениях координаты y на границе сред, т.е. во всех точках плоскости раздела сред. Например, при y = 0 получаем соотношение + = . (137) От субъективного выбора положения начала координат граничное условие (136) не зависит, поэтому это уравнение возможно при выполнении условия g1sinq / = g1 sinq // = g2 sinf. (138) Из равенства (138) непосредственно следует: 1) закон отражения электромагнитной волны: sinq / = sin q // или q / = q // =q , (139) т.е. угол падения равен углу отражения и соответствующие вектора Пойнтинга П1/, П1// и нормаль в точке падения лежат в одной плоскости; 2) закон преломления = , (140) Вектор Пойнтинга П2 и нормаль в точке преломления лежат в одной плоскости В частности, отсутствии затухания в средах (a1 = a2 = 0; g1 = ik1, g1= ik2) уравнение (136) примет вид: + = , (136*) где k1sinq / = , k1 sinq //= , k2 sinf = - проекции волновых векторов соответственно падающей, отраженной и преломленной волн. Равенство (136*) выполняется при условии k1sinq / = k1 sinq // = k2 sinf . (138*) Из равенства (138*) следует: 1) закон отражения q / = q // =q ; 2) закон отражения закон преломления в отсутствии затухания примет вид: k1sinq = k2 sinf или = , (140*) Отношение волновых чисел = = , где T – период колебаний вектора напряженности электрического поля, поэтому = , где v1 = - скорость электромагнитной волны в первой среде, v2 = - скорость электромагнитной волны во второй среде. Таким образом, закон преломления (140*) можно записать в виде = . (140**) В случае, когда обе среды являются диэлектриками, имеем: k1 = = = , k2 = = = . Подставим эти соотношения в (140), получим закон преломления через отношение диэлектрических проницаемостей сред e1 и e2: = (140***) В курсе общей физики при рассмотрении элементарной теории дисперсии показано, что показатель преломления среды связан с диэлектрической проницаемостью соотношением n = . Следовательно, закон преломлении (140*) можно записать в виде = . (140****) Приведем без вывода формулы для коэффициентов отражения и пропускания в случае наклонного падения электромагнитной волны на границу сред: - коэффициент отражения = ; - коэффициент пропускания (прозрачности) = . В этих формулах = , = - приведенные, соответственно, к углу падения и углу преломления волновые сопротивления сред. Таким образом, коэффициенты отражения и пропускания зависят от угла падения и угла преломления. Впрочем, т.к. угол преломления связан с углом падения по закону преломления, определяемый соотношением между диэлектрическими свойствами двух сред, то можно сказать, что коэффициенты и зависят просто от угла падения. Обратим внимание еще на одно обстоятельство. Запишем уравнения (130, 131, 132) при z = 0 с учетом закона отражения (139) q / = q // =q : = ( + ) ; = ( + ) ; = ( + ) .
Из этих уравнений следует, что вдоль поверхности раздела сред распространяется электромагнитная волна с постоянной распространения g1sinq . Соответствующий вектор Пойнтинга образован векторами E1x, и H1z : П = [E1x, H1z]. При вертикальной (параллельной) поляризации электрические и магнитные векторы в уравнениях меняются местами. Магнитный вектор при вертикальной поляризации имеет одну составляющую по оси x, а магнитный вектор две – по осям y и z. 3.8.3. Распространение плоской электромагнитной волны в проводящей (поглощающей) среде при наклонном
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (886)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |