Определение производной
Определение 2.1:Производной функции по аргументу x называется предел отношения ее приращения к приращению аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю: . Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x. Если же этот предел есть ∞, то говорят, что функция y=f(x) имеет в точке x бесконечную производную. Механический смысл производной:скорость есть первая производная пути по времени, т.е. . Геометрический смысл производной:тангенс угла наклона касательной к графику функции равен первой производной этой функции , вычисленной в точке касания, т.е. Уравнение касательнойк графику функции в точке : Уравнение нормали к графику функции в точке : Таблица производных
Процесс нахождения производных называется дифференцированием функции. Найти производные функций: Пример 1:
+
Пример2: Пример 3: Дифференцирование сложной функции Пусть y= y(u) , где u= u(x) – дифференцируемые функции. Тогда сложная функция y=y[u(x)] есть также дифференцируемая функция. Производные сложных функций находятся при помощи таблицы:
Рассмотрим примеры.
Пример 1: Найти производную функции Решение: = Пример 2: Найти производную функции Решение: = +
Производные высших порядков Определение2.2: Производная второго порядка (вторая производная) от функции y=f(x) есть производная от ее первой производной: . Определение 2.3 : Производная третьего порядка (третья производная) от функции y=f(x) есть производная от ее второй производной: . Определение 2.4 : Производная n-ого порядка(n-я производная) от функции y=f(x) есть производная от ее (n-1)-й производной: . Рассмотрим примеры. Пример 1: Найти производную второго порядка . Решение:
Пример2: Найти производную второго порядка функции . Решение: Исследование функции с помощью производной Определение 2.5:Точка х0 называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: . Определение 2.6:Точка х0 называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: . Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции. Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв. Правило нахождения экстремумов функции
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (398)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |