Определители и их свойства
Пусть дана квадратная матрица второго порядка . Определителем данной матрицы или просто определителем второго порядка называется число . Обозначается определитель , т.е. . Аналогично определителем квадратной матрицы третьего порядка или просто определителем третьего порядка называется число + . Если из определителя третьего порядка вычеркнуть i – ю строку и j – й столбец, на пересечении которых находится элемент , то оставшиеся элементы образуют определитель второго порядка, который называется минором определителя и соответствует элементу . Обозначается минор . Например, элементу соответствует минор . Минор элемента , взятый со знаком «+», если сумма i+j номеров строк и столбца чётная, или со знаком «-», если сумма i+j нечётная, называется алгебраическим дополнением элемента и обозначается . Пример 4. Найти алгебраическое дополнение числа 3 в определителе . Решение. Так как число 3 находится на пересечении второй строки и первого столбца, то вычёркиваем эти строку и столбец и получим минор, соответствующий числу 3: . Алгебраическое дополнение этого элемента . Рассмотрим квадратную матрицу порядка n: . Определителем матрицы порядка n (или просто определителем порядка n) называется число , равное сумме произведений элементов любой строки (любого столбца) на их алгебраические дополнения. Например, для первой строки . Такая запись называется разложением определителя по элементам первой строки. Основными свойствами определителя являются: 1) если какая-либо строка (столбец) определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю; 2) при перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный; 3) определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца), равен нулю; 4) общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя; 5) определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число; 6) определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, не меняя их порядка. Пример 5. Вычислить определитель . Решение. Все элементы первой строки, кроме первого, обратим в нули. Для этого воспользуемся свойством 5: 1) к элементам второго столбца прибавим элементы первого, умноженные на 2; 2) к элементам третьего столбца прибавим элементы первого, умноженные на 3; 3) к элементам четвёртого столбца прибавим элементы первого, умноженные на 3. В результате получим определитель . Разложим этот определитель по элементам первой строки: . К элементам первой строки прибавим элементы третьей, умноженные на 3, а к элементам второй прибавим элементы третьей, умноженные на 6. В результате получим определитель, который разложим по элементам первого столбца: . Пример 6. Вычислить определитель . Решение. Воспользуемся свойством 5. К элементам второй строки определителя прибавим элементы первой, умноженные на 3, а к элементам третьей прибавим элементы первой, умноженные на 2. Тогда {к элементам второй строки прибавим элементы третьей} {разложим определитель по элементам второй строки}= .
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (460)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |