Понятие производной функции
Производной функции в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю: . Другими обозначениями производной могут быть . Из определения производной следует, что производная функции в некоторой точке есть скорость её изменения в этой точке. Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Касательной к графику функции в точке М называется предельное положение секущей, проходящей через данную точку. Геометрический смысл производной функции состоит в том, что производная в точке х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. Скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от функции пути S(t) по времени t. В этом состоит механический смысл производной. Экономический смысл производной состоит в том, что производная от функции u(t), выражающей количество произведённой продукции в момент времени t, равна производительности труда в этот момент времени. На практике производные функций находят с помощью формул и правил. Основными формулами дифференцирования являются:
Пусть функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы в некотором интервале (a,b). Справедливы следующие правила: 1) производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: ; 2) производная произведения двух функций равна произведению производной первой функции на вторую плюс произведение первой функции на производную второй: ; 3) постоянный множитель можно выносить за знак производной: ; 4) производная частного двух функций, если знаменатель не равен нулю, равен дроби, знаменатель которой есть квадрат прежнего знаменателя, а числитель равен произведению производной числителя на знаменатель минус произведение числителя на производную знаменателя: . Пример 11. Найти производные функций: а) ; б) ; в) ; г) . Решение. а)
; б) ; в) ; г) = . Пусть функция имеет в некоторой точке х производную , а функция имеет в соответствующей точке производную . Тогда функция является сложной и её производная находится по правилу: производная сложной функции по основному аргументу равна произведению производной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по основному аргументу, т.е. . Это правило распространяется на сложные функции, которые имеют любое конечное число промежуточных аргументов. Пример 12. Найти производные функций: а) ; б) ; в) . Решение. а) Введём промежуточный аргумент . Тогда , , , . б) Функцию можно записать в виде . Введём промежуточный аргумент , тогда . По формулам для производной сложной функции имеем: . в) Запишем функцию в виде . Введём промежуточные аргументы и . Тогда . Так как имеем два промежуточных аргумента, то = . Таким образом, .
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (547)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |