Тема 5. Введение в математический анализ
Числовые функции. График функции. Основные характеристики функции. Сложная функция. Основные элементарные функции и их графики. [3, §14]. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции при . [3, §16]. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. [3, §17]. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке. [3, §19]. Пример 9. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . Решение: 1) . 2) . Раскроем неопределенность . Так как и , то . 3) . Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель на старшую степень : , так как , , при . 4) . Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю: . 5) . Сделаем замену , тогда , . Так как , то . Тогда , так как – второй замечательный предел. Пример 10. Дана функция Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график. Решение: Функции , , непрерывны на всей числовой прямой, поэтому заданная функция может иметь разрывы только в точках, где меняется ее аналитическое выражение, то есть в точках и . Исследуем функцию на непрерывность в этих точках. Для этого найдем соответствующие односторонние пределы и значения функции. Рассмотрим поведение функции при : ; ; . Так как , то заданная функция непрерывна в точке . Рассмотрим поведение функции при : ; . Так как пределы и конечны и не равны, то точка – точка разрыва I рода (функция в этой точке претерпевает «скачок» на единицы). Сделаем чертеж:
Задачи для контрольных работ
ВАРИАНТ 1
Контрольная работа №1
1. Дана матрица . Найти . 2. Решить систему линейных уравнений 1) по правилу Крамера; 2) с помощью обратной матрицы; 3) методом Гаусса. 3. Дано: , , , векторы и составляют стороны параллелограмма . 1) длины диагоналей параллелограмма ; 2) острый угол между диагоналями параллелограмма ; 3) площадь параллелограмма . 4. Даны точки ; ; ; . Требуется: 1) записать векторы , , в ортонормированном базисе; 2) найти длины векторов , , ; 3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства; 4) найти острый угол между векторами и ; 5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ; 6) найти площадь треугольника ; 7) найти объем пирамиды . 5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы . Контрольная работа №2
1. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти: 1) длину стороны ; 2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол в радианах с точностью до ; 4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ; 5) уравнение медианы ; 6) точку пересечения высот треугольника . Сделать чертеж. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус эллипса параллельно прямой . 3. Даны точки ; ; ; . Найти: 1) длину отрезка ; 2) уравнения прямых и ; 3) угол между прямыми и ; 4) уравнение плоскости ; 5) угол между прямой и плоскостью ; 6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость . 4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . 5. Дана функция Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график. ВАРИАНТ 2
Контрольная работа №1
1. Дана матрица . Найти . 2. Решить систему линейных уравнений 1) по правилу Крамера; 2) с помощью обратной матрицы; 3) методом Гаусса. 3. Дано: , , , векторы и составляют стороны параллелограмма . 1) длины диагоналей параллелограмма ; 2) острый угол между диагоналями параллелограмма ; 3) площадь параллелограмма . 4. Даны точки ; ; ; . Требуется: 1) записать векторы , , в ортонормированном базисе; 2) найти длины векторов , , ; 3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства; 4) найти острый угол между векторами и ; 5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ; 6) найти площадь треугольника ; 7) найти объем пирамиды . 5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы . Контрольная работа №2
1. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти: 1) длину стороны ; 2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол в радианах с точностью до ; 4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ; 5) уравнение медианы ; 6) точку пересечения высот треугольника . Сделать чертеж. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы параллельно прямой . 3. Даны точки ; ; ; . Найти: 1) длину отрезка ; 2) уравнения прямых и ; 3) угол между прямыми и ; 4) уравнение плоскости ; 5) угол между прямой и плоскостью ; 6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость . 4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . 5. Дана функция Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график. ВАРИАНТ 3
Контрольная работа №1
1. Дана матрица . Найти . 2. Решить систему линейных уравнений 1) по правилу Крамера; 2) с помощью обратной матрицы; 3) методом Гаусса. 3. Дано: , , , векторы и составляют стороны параллелограмма . 1) длины диагоналей параллелограмма ; 2) острый угол между диагоналями параллелограмма ; 3) площадь параллелограмма . 4. Даны точки ; ; ; . Требуется: 1) записать векторы , , в ортонормированном базисе; 2) найти длины векторов , , ; 3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства; 4) найти острый угол между векторами и ; 5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ; 6) найти площадь треугольника ; 7) найти объем пирамиды . 5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы . Контрольная работа №2
1. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти: 1) длину стороны ; 2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол в радианах с точностью до ; 4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ; 5) уравнение медианы ; 6) точку пересечения высот треугольника . Сделать чертеж. 2. Составить уравнения прямых, проходящих через точку параллельно асимптотам гиперболы . 3. Даны точки ; ; ; . Найти: 1) длину отрезка ; 2) уравнения прямых и ; 3) угол между прямыми и ; 4) уравнение плоскости ; 5) угол между прямой и плоскостью ; 6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость . 4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . 5. Дана функция Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график. ВАРИАНТ 4
Контрольная работа №1
1. Дана матрица . Найти . 2. Решить систему линейных уравнений 1) по правилу Крамера; 2) с помощью обратной матрицы; 3) методом Гаусса. 3. Дано: , , , векторы и составляют стороны параллелограмма . 1) длины диагоналей параллелограмма ; 2) острый угол между диагоналями параллелограмма ; 3) площадь параллелограмма . 4. Даны точки ; ; ; . Требуется: 1) записать векторы , , в ортонормированном базисе; 2) найти длины векторов , , ; 3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства; 4) найти острый угол между векторами и ; 5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ; 6) найти площадь треугольника ; 7) найти объем пирамиды . 5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы . Контрольная работа №2
1. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти: 1) длину стороны ; 2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол в радианах с точностью до ; 4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ; 5) уравнение медианы ; 6) точку пересечения высот треугольника . Сделать чертеж. 2. Дана парабола . Найти длину ее хорды, проходящей через точку параллельно прямой . 3. Даны точки ; ; ; . Найти: 1) длину отрезка ; 2) уравнения прямых и ; 3) угол между прямыми и ; 4) уравнение плоскости ; 5) угол между прямой и плоскостью ; 6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость . 4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . 5. Дана функция Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график. ВАРИАНТ 5
Контрольная работа №1
1. Дана матрица . Найти . 2. Решить систему линейных уравнений 1) по правилу Крамера; 2) с помощью обратной матрицы; 3) методом Гаусса. 3. Дано: , , , векторы и составляют стороны параллелограмма . 1) длины диагоналей параллелограмма ; 2) острый угол между диагоналями параллелограмма ; 3) площадь параллелограмма . 4. Даны точки ; ; ; . Требуется: 1) записать векторы , , в ортонормированном базисе; 2) найти длины векторов , , ; 3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства; 4) найти острый угол между векторами и ; 5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ; 6) найти площадь треугольника ; 7) найти объем пирамиды . 5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы . Контрольная работа №2
1. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти: 1) длину стороны ; 2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол в радианах с точностью до ; 4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ; 5) уравнение медианы ; 6) точку пересечения высот треугольника . Сделать чертеж. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через центр гиперболы параллельно прямой . 3. Даны точки ; ; ; . Найти: 1) длину отрезка ; 2) уравнения прямых и ; 3) угол между прямыми и ; 4) уравнение плоскости ; 5) угол между прямой и плоскостью ; 6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость . 4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . 5. Дана функция Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график. ВАРИАНТ 6
Контрольная работа №1
1. Дана матрица . Найти . 2. Решить систему линейных уравнений 1) по правилу Крамера; 2) с помощью обратной матрицы; 3) методом Гаусса. 3. Дано: , , , векторы и составляют стороны параллелограмма . 1) длины диагоналей параллелограмма ; 2) острый угол между диагоналями параллелограмма ; 3) площадь параллелограмма . 4. Даны точки ; ; ; . Требуется: 1) записать векторы , , в ортонормированном базисе; 2) найти длины векторов , , ; 3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства; 4) найти острый угол между векторами и ; 5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ; 6) найти площадь треугольника ; 7) найти объем пирамиды . 5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы . Контрольная работа №2
1. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти: 1) длину стороны ; 2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол в радианах с точностью до ; 4) уравнение высоты 2015-12-15 |
327 |
Обсуждений (0) |
|
5.00
из
|
|
Обсуждение в статье: Тема 5. Введение в математический анализ |
Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓ |
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...
Система поиска информации
Мобильная версия сайта
Удобная навигация
Нет шокирующей рекламы