Основные правила дифференцирования
Теорема 1. Если функции и дифференцируемы в данной точке, то в той же точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: . Формула обобщается на случай любого конечного числа слагаемых. Теорема 2. Если функции и дифференцируемы в данной точке х, то в этой же точке дифференцируемо и их произведение, при этом: . Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: , где . Теорема 3. Если в данной точке х функции и дифференцируемы и , то в той же точке дифференцируемо и их частное, причем . Обратная функция и ее производная
Рассмотрим функцию y = f (x) с областью определения (a, b) и множеством значений (c, d). Пусть эта функция такова, что всякая прямая, проходящая через точку интервала (c, d) параллельно оси Ох, пересекает ее график только в одной точке, т.е. уравнение y = f (x) для каждого y (c, d) определяет единственное значение x (a, b). В этом случае каждому значению y (c, d) соответствует единственное значение x (a, b), т.е. на интервале (c, d) задана функция, множество значений которой есть интервал (a, b). Эта функция называется обратной по отношению к функции y = f (x) и обозначается . Очевидно, что для функции обратной является функция . Поэтому обе эти функции называются взаимно обратными. Теорема. Если функция y = f (x) монотонна и дифференцируема в некотором интервале и имеет в точке x этого интервала производную , не равную нулю, то обратная функция в соответствующей точке y имеет производную, причем или иначе .
Производная сложной функции
Если и , то есть сложная функция независимого аргумента x с промежуточным аргументом u. Теорема. Если имеет производную в точке x, а функция имеет производную в соответствующей точке u, то сложная функция в данной точке x имеет производную , которая находится по следующей формуле . Часто пользуются следующей формулировкой этой теоремы: производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу на производную внутренней функции по независимому аргументу. Сложная функция может быть составлена не из двух функций, а из большого их числа. В таких случаях теорема применяется последовательно несколько раз. В частности, если функция такова, что , , , то производная находится по формуле .
Производные основных элементарных функций. Таблица производных
Используя определение производной, можно найти производные основных элементарных функций. 1. Производная степенной функции . 2. Производная показательной функции . В частности, . 3. Производная логарифмической функции , , . В частности, . 4. Производные тригонометрических функций , , , . Найдем, например, производную функции . По определению производной имеем: . Производную функции можно найти по правилу дифференцирования частного двух функций: . 5. Производные обратных тригонометрических функций , . Найдем, например, производную функции . Функция , обратная к функции , . По правилу дифференцирования обратной функции . На интервале имеем .
Запишем таблицу производных для где .
Применяя формулы и правила дифференцирования, найдем производные следующих функций: 1) . Применим правило дифференцирования произведения двух функций: . 2) . Применим правило дифференцирования частного двух функций: . 3) . Применим правило дифференцирования сложной функции: .
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (595)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |