Производные высших порядков. Литература: [5], Ч.1, гл
Литература: [5], Ч.1, гл. 5, § 5.4
Производной второго порядка (второй производной) функции y = f (x) называется производная от ее производной. Вторая производная обозначается или . Если ─ закон прямолинейного движения точки, то вторая производная пути по времени есть ускорение этого движения. В этом заключается механический смысл второй производной. Аналогично, производной третьего порядка функции y = f (x) называется производная от производной второго порядка: . Вообще, производная n-го порядка от функции y = f (x) называется производная от производной(n-1)-го порядка: . Производные высших порядков (вторая, третья и т.д.) вычисляются последовательным дифференцированием данной функции. Пример 1.. Найти , если . Решение. Применяя последовательно правила дифференцирования суммы и произведения, а также правило дифференцирования сложной функции, найдем первую производную заданной функции: . Дифференцируя первую производную, найдем вторую производную заданной функции: . Если функция задана параметрически , то производные , , … вычисляются по формулам: , , и т.д. Производную второго порядка функции, заданной параметрически, можно также вычислить по формуле: . Пример 2. Найти и , если функция задана параметрически Решение. Имеем , . Покажем на примере способ нахождения производных высших порядков от функций, заданных неявно. Пример 3. Найти вторую производную функции , заданной неявно уравнением . Решение. Дифференцируя уравнение по x, получим: . Продифференцировав равенство по x и разрешив его относительно , получим: . Подставив уже найденное значение в выражение для второй производной, выразим через x и y: . Дифференциал функции
Литература: [5], Ч.1, гл. 5, §§ 5.3, 5.4
Пусть функция y = f (x) дифференцируема на отрезке [a‚ b]. Производная этой функции в некоторой точке x отрезка [a‚ b] определяется равенством . На основании свойства функции, имеющей конечный предел, имеем , где ─ бесконечно малая более высокого порядка, чем , т.е. . Тогда или . Таким образом, приращение функции представлено в виде суммы двух слагаемых, одно из которых линейное относительно и является главной частью приращения функции, если , а второе ─ бесконечно малая более высокого порядка малости по сравнению с . Дифференциалом(первого порядка) функции y = f (x) называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента . Дифференциал аргумента равен приращению аргумента Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента: . Геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке (рис. 1.4).
Рис. 1.4 Основные свойства дифференциала: 1) , где ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Последнее свойство называется свойством инвариантности формы первого дифференциала, здесь u ─ не независимая переменная, а дифференцируемая функция. Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то и Таким образом, дифференциал функции может применяться для приближенных вычислений. Дифференциалом второго порядка функции y = f (x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка: Аналогично определяется дифференциал третьего порядка: Вообще, Если y = f (x) и x − независимая переменная, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам , , … , . Пример. Найти дифференциал функции . Решение. .
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (420)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |