Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости кривой. Точки перегиба
Литература: [3], гл. V, § 9 [5], Ч.1, гл. 6, § 6.4
Кривая называется выпуклой в интервале (а‚b), если все точки кривой лежат не выше любой ее касательной в этом интервале. Кривая называется вогнутой в интервале (а‚b), если ее точки лежат не ниже любой ее касательной в этом интервале (рис. 1.6). Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости используется вторая производная функции. Теорема (достаточный признак выпуклости (вогнутости) кривой): если во всех точках некоторого интервала вторая производная функции y = f (x) отрицательна (положительна), то кривая, описываемая уравнением y = f (x), в этом интервале выпуклая (вогнутая).
Рис. 1.6
Точка кривой М0(x0, f (x0)), отделяющая выпуклую ее часть от вогнутой, называется точкой перегиба. Теорема (достаточный признак существования точки перегиба): если в точке x0 вторая производная функции y = f (x) равна нулю или не существует и при переходе через эту точку меняет знак, то точка с абсциссой x = x0 является точкой перегиба графика функции. Пример. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости кривой . Решение. Область определения функции: . Находим первую и вторую производные функции: , . Обе производные существуют при любых значениях x. Приравняв вторую производную к нулю, находим: x0 = 2. Точка x0 = 2 разбивает область определения функции на интервалы (-∞, 2) и (2, +∞). Составим таблицу знаков второй производной и поведения функции:
Знак второй производной меняется в точке x0 = 2. Значит, точка кривой является точкой перегиба. Слева от этой точки кривая выпуклая (так как ), справа ─ вогнутая (так как ). Итак, интервал выпуклости (-∞, 2), вогнутости (2, +∞).
Асимптоты кривой
Литература: [3], гл. V, § 10 [5], Ч.1, гл. 6, § 6.5
Прямая называется асимптотой кривой y = f (x), если расстояние от точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки М вдоль кривой в бесконечность от начала координат (рис. 1.7).
Рис. 1.7
Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Вертикальная асимптота имеет уравнение вида x = x0 и является прямой, параллельной оси Оy. Наклонная асимптота имеет уравнение вида y = k x + b. В частном случае при k = 0 асимптота называется горизонтальной, так как ее уравнение y = b есть прямая, параллельная оси Ох.
Пусть дана кривая y = f (x). Для нахождения вертикальной асимптоты этой кривой находят точки ее бесконечного разрыва (точки разрыва второго рода). Если, например, и , то прямая x = x0 ─ вертикальная асимптота кривой y = f (x) (рис. 1.8).
Наклонные и горизонтальные асимптоты. Пусть задана кривая y = f (x). Для нахождения наклонной асимптоты, уравнение которой y = k x + b, находят коэффициенты k и b, вычисляя пределы: , . Эти пределы вычисляются отдельно для случаев и . Если хотя бы один из пределов для вычисления k и b равен ∞ или не существует, то кривая наклонных и горизонтальных асимптот не имеет. В частном случае, когда k = 0, а b ─ конечное число, кривая имеет горизонтальную асимптоту, уравнение которой y = b. Пример. Найти асимптоты кривой . Решение. Функция определена на всем множестве действительных чисел R, кроме точки x = 1. Определим характер разрыва, для чего вычислим пределы функции при x → 1 слева (x < 1) и справа (x > 1): , . Так как один из пределов бесконечен, то x = 1 является точкой разрыва второго рода, и, следовательно, кривая имеет вертикальную асимптоту x = 1. Определим, имеет ли кривая наклонную или горизонтальную асимптоту. Для этого вычисляем соответствующие пределы:
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (763)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |