Замена переменной в определенном интеграле

 

Литература: [5], Ч.2, гл. 10, § 10.2

 

Рассмотрим , где f (x) непрерывна на [a, b]. Введем новую переменную интегрирования t, связанную с переменной x соотношением x=φ(t), где , а .

Функция φ (t) должна быть непрерывно-дифференцируемой. Кроме того, φ(α)=a, φ(β)=b, тогда имеет место формула

.

Следует отметить, что при вычислении определенного интеграла уже нет необходимости возвращаться к старой переменной интегрирования, т.к. пределы интегрирования изменились в соответствии с подстановкой.

Примеры. Вычислить интегралы 1) ; 2) .

Решение.

1. Введем новую переменную интегрирования, полагая . Отсюда находим: , . Вычислим новые пределы интегрирования: при имеем , при получаем . Следовательно,

.

2. Положим , тогда . Находим новые пределы интегрирования: при получаем , , . При получаем , , .

 

Интегрирование по частям

 

Литература: [5], Ч.2, гл. 10, § 10.2

 

Если функции u(x) и v(x) непрерывно-дифференцируемы на [a, b], то имеет место формула интегрирования по частям:

.

Примеры. Вычислить интегралы: 1) ;

2) .

Решение.

1)

2)

Отметим очень важные для дальнейшего утверждения:

1) если функция f (x) четная, то ;

2) если функция f (x) нечетная, то ;

3) если f (x) периодическая с периодом T, то .

 

Геометрические приложения определенного интеграла

 

Вычисление площадей плоских фигур

 

Литература: [5], Ч.2, гл. 10, § 10.3

 

Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что если f (x) ≥ 0 для всех , то площадь криволинейной трапеции ограниченной графиком функции y = f (x), прямыми x=a, x=b и осью Ox, выражается формулой (рис. 3.2, а).

Если же f (x) ≤ 0 для всех , то и, следовательно, в этом случае (рис. 3.2, б).

x

b

a

y

О

y=f(x)

+

x

b

a

y

О

y=f(x)

-

а

б

Рис. 3.2

 

a

О

x

b

y

y=f2(x)

y=f1(x)

Рис. 3.3

Если фигура ограничена графиками функций y = f₁(x) и y = f₂(x) таких, что f₁(x) ≥ f₂(x) для всех (рис. 3.3), то .

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x и y=2−x².

Решение. Найдем точки пересечения и построим заданные линии.

–2

у=х

у=2–х2

–2

х

у

, т.е. a=–2, b=1.

Тогда

.

Замечание. Часто бывает удобным использовать для вычисления площадей фигур формулы, в которых интегрирование ведется по переменной y, при этом x считается функцией от y, т.е.

и .

Пример 2. Вычислить площадь, ограниченную линиями y²=2x+1 и y=x−1.

y

-1

y2=2x+1

y=x−1

x

-1

Решение.

Площадь фигуры равна:

Если кривая, ограничивающая сверху криволинейную трапецию, задана в параметрическом виде , где , то

.

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом , , где 0 ≤ t ≤ 2π.

S1

b

а

х

–а

–b

у

Решение. В силу симметрии эллипса

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой и двумя полярными радиусами и ( ), вычисляется по формуле .

x

y

2a

S1

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

Решение.