Вычисление длин дуг плоских кривых
Литература: [3], гл. XII, § 3 [5], Ч.2, гл. 10, § 10.5
Если кривая y = f (x) на отрезке [a, b] является гладкой (т.е. производная ─ непрерывная функция), то длина дуги этой кривой, заключенной между точками с абсциссами x = a и x = b, вычисляется по формуле . В том случае, когда кривая задана уравнениями в параметрической форме ( ─ непрерывно-дифференцируемые функции), длина дуги кривой, соответствующей монотонному изменению параметра t от α до β, вычисляется по формуле . Если, наконец, кривая задана уравнением в полярных координатах , то длина дуги кривой при изменении полярного угла от до , находится по формуле . Примеры. Найти длину дуги: 1) цепной линии от x = 0 до x = 2; 2) астроиды ; 3) кардиоиды . Решение. 1) Дифференцируя, получаем , тогда . 2) В силу симметрии астроиды относительно координатных осей достаточно найти длину одной четверти всей кривой и результат умножить на 4. При этом параметр t будет изменяться от 0 до .
, . Тогда . Получаем . 3) Так как кардиоида симметрична относительно полярной оси, то вычислим длину половины ее дуги (полярный угол φ изменяется от 0 до π), а затем умножим на 2. Найдем . Тогда . Теперь находим .
Вычисление объемов тел вращения
Литература: [3], гл. XII, §§ 4, 5 [5], Ч.2, гл. 10, § 10.4
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = f (x), осью абсцисс и двумя прямыми x = a, x = b (a < b), находится по формуле
Аналогично, объем тела вращения вокруг оси Oy криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой x = g (y), осью ординат и двумя прямыми y = c и y = d, вычисляется по формуле . Если кривая задана параметрическими уравнениями , то формулы для вычисления объема тела вращения принимают вид и . Пример. Вычислить объем тела, полученного вращением эллипса : 1) вокруг оси Ox, 2) вокруг оси Oy. Решение. 1) ; 2) .
Вычисление площадей поверхностей тел вращения
Литература: [3], гл. XII, § 6 [5], Ч.2, гл. 10, § 10.6
Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox дуги гладкой кривой y = f (x) между точками с абсциссами x = a и x = b, вычисляется по формуле . Если кривая задана параметрическими уравнениями , то формула для вычисления площади поверхности вращения принимает вид . Пример. Найти площадь поверхности вращения вокруг оси Ox одной арки циклоиды Находим . Подставляем полученные выражения в формулу для и, учитывая, что параметр t изменяется от 0 до 2π, получим: .
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (525)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |