Метод замены иррациональных уравнений системой рациональных уравнений
II. Практикум. 1. Решение простейших иррациональных уравнений, используя свойство корня n-ой степени Пример 1. При возведении обеих (неотрицательных) частей уравнения в квадрат, получаем равносильное уравнение: Ответ: 87.
Пример 2. Возведем обе части уравнения в квадрат, получим уравнение-следствие: Проверка: Если , то Если , то Ответ: - 9, - 8.
Метод возведения в степень. Пример 1. Уединим корень, после чего возведем обе части уравнения в квадрат: Проверка показала, что посторонний корень. Ответ: 7.
Пример 2. Уединим по два радикала в каждой части уравнения так, чтобы сумма подкоренных выражений была одинакова. 8х + 1 + 2х – 2 – 2 = 7х + 4 + 3х – 5 – 2 (8х + 1)(2х – 2) = (7х + 4)(3х – 5) х = 3; х = - Проверка: х = - посторонний корень Ответ: 3.
Пример 3. х 3х2 , т.к. , то 3х2 × 3х2 = 2 х 1 = - посторонний корень х2 = Ответ: . Пример 4. Возведем обе части уравнения в куб, используя формулу По условию . Тогда Проверка показала, что х = 0 посторонний корень. Ответ: 1.
Пример 5. Уединим корни и возведем обе части уравнения в 6 степень (НОК(2; 3) = 6) Проверка показала, что х = – 1 – посторонний корень. Ответ: 2.
Метод введения новой переменной. Пример 1. Пусть y > 0. Получим уравнение . Тогда у2 + 3у – 4 = 0 у1 = 1, у2 = -4 (не удовлетворяет условию y > 0) 2 – х = 2 + х х = 0 Проверка показывает, что 0 является корнем уравнения. Ответ: 0. Пример 2. Пусть 2х – 5 = у2
| × |y + 1| + |y + 3| = 14, т.к. у ³ 0, то |y + 1| = y + 1, |y + 3| = y + 3 у + 1 + у + 3 = 14 2у = 10 у = 5 Тогда х = 15. Ответ: 15. Пример 3. Заметим, что , тогда имеем
Это однородное уравнение. Разделим почленно на Введем новую переменную . Получим Вернувшись обратно к замене, получим: х=0, х= . Ответ: 0; .
Метод составления смешанной системы. Решение уравнений вида Пример 1. Ответ: -1. Решение уравнений вида Пример 2. х = 4 Ответ: 4. Пример 3.
Ответ: 7.
Решение уравнений вида
Пример 4. Ответ: 4. Решение уравнений вида Пример 5. Ответ: -2; 3.
Пример 6. Ответ: -1; 1; 3.
Метод разложения подкоренного выражения на множители. Пример 1. Возведем обе части уравнения в квадрат, получим: Проверка показала, что посторонний корень. Ответ: -1; 1. Пример 2. Проверка показала, что посторонних корней нет. Ответ: -2; 1; 13. Метод умножения на сопряженное выражение. Пример 1. Умножим обе части уравнения на выражение , сопряженное выражению , предварительно проверив, что корень уравнения =0 х = 3 не является корнем данного уравнения. Получим: Ответ: 6.
Пример2. (1) | ∙ х=0 или Сложим данное уравнение с уравнением (1), получим Ответ: -3; 0; 3. Метод выделения полного квадрата в подкоренном выражении. Пример 1. Пусть |y – 2| + |y – 3| = 1 1) 2) 3)
y =2 1 = 1 у = 3 решений нет решений нет
Ответ: [5; 10]. Пример 2. Т.к. левая часть уравнения неотрицательна, то . При Тогда Т.к. при х = 4, то рассмотрим два случая: и x > 4. 1 случай: При этих значениях переменной то есть уравнение равносильно системе: Система не имеет решения. 2 случай: x > 4. При этих значениях переменной то есть уравнение равносильно системе: Ответ: 7.
Метод замены иррациональных уравнений системой рациональных уравнений. Пример 1. 1) 2) х – 3 = 27 х – 3 = -64 х = 30 х = -61 Ответ: -61; 30. Пример 2. Решая первое уравнение системы, находим Возвращаясь к подстановке , получаем Ответ: 1; 2; 10.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (906)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |