Функциональные последовательности
Определение. Если членами ряда являются функции переменой х, то ряд называется функциональным. Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х, при которых ряд сходится. Совокупность таких значений называется областью сходимости. Так как пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция: Определение. Говорят, что функциональная последовательность сходится к функции на отрезке , если для любого числа и любой точки х из рассматриваемого отрезка существует номер , такой, что неравенство выполняется при . При выбранном значении каждой точке отрезка соответствует свой номер и, следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка , будет бесчисленное множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этот номер будет годиться для всех точек отрезка , т.е. будет общим для всех точек. Определение. Говорят, что функциональная последовательность равномерно сходится к функции на отрезке , если для любого числа существует номер , такой, что неравенство выполняется при для всех точек отрезка . Пример. Рассмотрим последовательность Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции , т.к. . Построим графики этой последовательности:
При увеличении числа n график последовательности приближается к оси х. Функциональные ряды Определение. Частичными суммами функционального ряда называются функции Определение. Функциональный ряд называется сходящимся в точке , если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности называется суммой ряда в точке . Определение. Совокупность всех значений х, для которых сходится ряд называется областью сходимостиряда. Определение. Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке , если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.
Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда). Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого числа существовал такой номер , что при и любом целом неравенство
выполнялось бы для всех х на отрезке . Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса) Ряд сходится равномерно и абсолютно на отрезке , если модули его членов на этом же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами:
т.е. имеет место неравенство: . При этом говорят, что в этом случае функциональный ряд мажорируетсячисловым рядом . Пример. Исследовать на сходимость ряд . Так как всегда, то очевидно, что . При этом известно, что обобщённый гармонический ряд при сходится, то в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале. Пример. Исследовать на сходимость ряд . На отрезке выполняется неравенство т.е. по признаку Вейерштрасса на этом отрезке исследуемый ряд сходится, а на интервалах , расходится.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1107)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |