Геометрический закон распределения (геометрическое распределение) дискретных случайных величин

Дискретная случайная величина распределена геометрически, если она принимает значения 1,2,…m …(бесконечное, но счетное количество раз) с вероятностями, находящимися по формуле общего члена геометрической прогрессии:

Случайная величина X = m, распределенная геометрически, представляет собой число испытаний (m) до первого положительного исхода.

Составим ряд распределения:

			…	m	…
	p		…		…

и т.д.

Теорема. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной геометрически, вычисляются по формулам:

Пример.

Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более 4‒х выстрелов.

Составить закон распределения числа выстрелов, если вероятность попадания при одном выстреле равна p = 0,7. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и моду числа выстрелов.

Решение:

По условию

число выстрелов

Составим закон распределения числа выстрелов:

	0,7	0,21	0,063	0,027

Проверка:

1. Математическое ожидание:

2. Дисперсия:

3. Среднее квадратическое отклонение:

4. так как при m = 1 вероятность максимальная, она составляет: p = 0,7.

 

Пример.

Вероятность поражения цели равна 0,6. Производится стрельба по мишени до первого попадания (число патронов не ограничено). Требуется составить ряд распределения числа сделанных выстрелов, найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Определить вероятность того, что для поражения цели потребуется не более трёх патронов.

Решение:

Случайная величина X - число сделанных выстрелов - имеет геометрическое распределение с параметром p=0,6. Ряд распределения X имеет вид:

				...	m	...
	0,6	0,24	0,096	...	0,6·0,4m	...

Вероятность того, что для поражения цели потребуется не более трёх патронов:

P(X ≤ 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,6+0,24+0,096 = 0,936.

 

Распределение Пуассона дискретных случайных величин.

Дискретная случайная величина распределена по закону Пуассона, если она принимает значения 0,1,2…m…n…, бесконечное, но счетное число раз, с вероятностями, определяемыми по формуле Пуассона:

где , p .

Закон распределения примет вид:

				…	m	…
				…		…

,

и т.д.

 

Теорема.Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равны параметру Пуассона.

Пример 1.

Станок изготавливает за смену 100000 деталей. Вероятность изготовления бракованной детали p = 0,0001.

Найти вероятность того, что за смену будет изготовлено 5 бракованных деталей.

Решение:

Обозначим n = 100 000, k = 5, p = 0,0001. События, состоящие в том, что отдельная деталь бракована, независимы, число испытаний n велико, а вероятность p мала, поэтому воспользуемся распределением Пуассона:

где

 

Пример 2.

Устройство состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна 0,002.

Найти математическое ожидание , дисперсию , среднее квадратическое отклонение и моду .

Решение:

X ‒ случайная величина ‒ число отказавших за время t элементов.

, . Следовательно, случайная величина распределена по закону Пуассона.

элемента

Составим закон распределения Пуассона:

					…	m	…
	0,135335	0,270671	0,270671	0,180447	…		…

и т.д.