Задача Коши с уравнением струны (одномерный случай). Формула Даламбера
Уравнения малых колебаний. Струна – упругая нить, не сопротивляющаяся изгибу, но оказывающая сопротивление растяжению. Колебания каждой точки струны с абсциссой x описываются тремя компонентами вектора смещения , будем рассматривать только такие колебания, в которых смещения струны лежат в одной плоскости (x,t), а вектор смещения перпендикулярен в любой момент времени к оси x (поперечные колебания). Ограничимся рассмотрением только малых колебаний, т.е. таких где можно пренебречь . С точностью второго порядка по длина фиксированного участка струны не меняется во време6ни, т.е. этот участок не растягивается. Отсюда в силу закона Гука следует, что величина натяжения Т не меняется со временем, следовательно, Т может быть функцией только х: В силу предположения о малости колебаний следует, что величина натяжения Т, возникающего в струне не зависит от времени. Запишем второй закон Ньютона:
Закон Ньютона запишется виде: - закон колебания струны У нас малые колебания: и Окончательно получаем: дифференциальное уравнение малых поперечных колебаний струны: , где - линейная плотность струны, - плотность внешних сил. В случае, когда и уравнение запишется в виде: это одномерное волновое уравнение, где ; . Рассмотрим стержень расположенный вдоль оси х. Введём следующие обозначения: - площадь сечения стержня плоскостью, перпендикулярной оси х, проведённой через данную точку х, и - модуль Юнга и плотность в сечении с абсциссой х, - величина отклонения вдоль стержня сечения с абсциссой х в момент времени t. Продольные колебания полностью описываются функцией . Малыми мы будем называть такие продольные колебания, в которых натяжения, возникающие в процессе колебания, подчиняются закону Гука. Дифференциальное уравнение малых продольных колебаний:
В случае, когда уравнение запишется в виде: это одномерное волновое уравнение, где ; . Задача Коши с уравнением струны (одномерный случай). Формула Даламбера.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (569)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |