Смешанная краевая задача на отрезке с закрепленными концами (решение методом Фурье)

2015-12-15

571

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

⇐ Предыдущая 12

Рассмотрим ограниченную струну:

будем решать методом разделения переменных: будем искать частные решения уравнения в виде произведения двух функций: Метод Фурье: Ищем u(x,t) в виде:

Подставляем в уравнение:

Делим на

(для того чтобы тождество выполнялось, приравниваем его некоторой произвольной константе)

Получаем два уравнения:

* - это уравнение второго порядка с двумя граничными условиями, это краевая задача с тривиальным решением, но она имеет не только тривиальное решение при некоторых λ. Это задача на собственные значения. Это задача Штурмана-Лиувилля. Решим её. рассмотрим три случая: 1. λ<0 – не подходит, т.к. собственные значения должны быть не отрицательными.

2. λ=0:

решение будет следующее:

, выберем те, которые удовлетворяют краевым условиям:

получили тривиальное решение, оно нас не интересует, поэтому этот случай тоже не подходит. 3. λ>0:

, выберем те, которые удовлетворяют краевым условиям:

(полагаем В равным единице)

решение задачи на собственные значения. В этом решении каждому собственному значению соответствует решение задачи для Т:

получили бесконечное множество решений задачи. Т.к. это однородные и линейные уравнения, то решения можно складывать и умножать на числа. Т.о.:

. Остались не выполненными начальные условия:

домножим обе части на

и интегрируем

, аналогично:

Задача решена. Проанализируем полученный результат. Введём следующие величины:

, решение тогда запишется:

С_n – амплитуда колебаний

_–частота колебаний,

- фаза колебаний Наше решение – суперпозиция двух волн – стоячая волна, например, звук - сумма бесконечного числа стоячих волн, с соответствующей частотой, фазой и амплитудой, зависит от параметров струны:

- длина струны,

- основной тон струны, ω_n – обертон, громкость зависит от C₁ и D₁.

профиль колебания волны – стоячая волна.

7. Смешанная краевая задача (задача Коши) .

Рассмотрим линейную задачу о колебаниях среды: Разбиваем задачу на три, каждая из которых вызывает одну причину: начальное отклонение, граничные возмущения, внешние силы, т.е.
1) Учитываем граничные условия: подбираем u₁ таким, что бы оно удовлетворяло граничным условиям: В силу линейности оставшиеся два решения удовлетворяют однородным граничным условиям.	2) Учитываем начальные условия, не учитываем правую часть: ищем u₂ такое, которое удовлетворяет однородному уравнению и однородным граничным условиям, а также получим новые начальные условия: Мы получили однородную задачу для u₂с неоднородными начальными условиями. Её решение в вопросе 8.	3) Учитываем начальные условия, не учитываем правую часть: ищем u₃ такое, что бы оно удовлетворяло неоднородному уравнению, и получаем для него нулевые условия: Мы разделили задачу таким образом, что сумм этих трёх частей удовлетворяет исходным уравнению и условиям.

Рассмотрим решения задач 2 (ВОПРОС 8!) и 3 по отдельности:

3)	Воспользуемся т. с. зн. , если решение существует, то - разложили решение в ряд по собственным значениям, коэффициенты разложения ( - самосопряженный оператор):
удовлетворяет уравнению: неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, начальные условия получаем исходя из начальных условий задачи. , тогда решение этого уравнения (метод вариации постоянных):