Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры
Корректность - непрерывная зависимость решения от дополнительных условий в любой конечной точке области, т.е. если имеем уравнение и два условия , причём (отличные на малую величину), то и (тоже мало отличаются). Пусть , - гармоническая функция, тогда: , тогда по теореме о максимумах и минимумах везде в области D верно: то есть малому изменению граничных условий отвечает малое изменение решений. Задача Дирихле корректна. Пример некорректной задачи: - уравнение Лапласа. Рассмотрим задачу Коши: . Рассмотрим два типа начальных условий: . Эти граничные условия мало отличаются при . Но решения не будут близкими при этом: , т.к. . Таким образом, решения будут существенно различны. 10. Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи. Теория специальных функция – это теория следующих уравнений: (*) - линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Пусть функция , т.е. - нуль первого порядка. Решение (*) всегда: . Рассмотрим решение в окрестности особой точки, в которой обращается в ноль. Теорема. Если уравнение имеет ограниченное в точке решение , то все остальные решения (линейно независимые) не ограничены: . То есть существует одно ограниченное решение. Доказательство: Из теории ОДУ знаем, что , - Вронскиан двух решений. Докажем: , тогда , чтд. У нас ограничено, а - нет. Рассмотрим следующую величину: . Проинтегрируем эту величину: , , следовательно, этот интеграл расходится при , а это значит, что , чтд. Уточним теорему: рассмотрим два случая. 1. в окрестности точки , ~ , т.е. как логарифм. 2. ~ ~ - полюс порядка . Проанализируем получившееся решение:
Уравнение Бесселя. Рассмотрим уравнение вида: - уравнение Бесселя. Это уравнение для цилиндрических функций – его решения – цилиндрические функции. Рассмотрим лапласиан в цилиндрических координатах, и : - возникает в связи с решением уравнения Лапласа в цилиндрических координатах. Решением этого уравнения (1-ым базисным решнием) является функция Бесселя первого рада: . Рассмотрим некоторые её свойства. 1) Рекуррентные соотношения. 2) Функции Бесселя с полуцелыми номерами . Вычислим . Для этого выполним преобразования: , подставим , но , тогда . Таким образом, мы получили следующие значения: , используя рекуррентные соотношения можно получить остальные значения полуцелых индексов. 3) Нули функции Бесселя.
a) особенность, построение ограниченного решения . Будем искать решение уравнения Бесселя в виде ряда Тейлора, умноженного на : . Подставим это решение в уравнение , , найдём коэффициенты и выберем ограниченное решение. Подставив решение в уравнение, сравниваем коэффициенты при разных степенях:
Пусть . Таким образом : . Вычислим коэффициент , и выразим его через . , коэффициент выбираем произвольно: , где . Таким образом, получили коэффициенты ряда: , т.к. . Запишем формальный ряд: , если , тогда решение ограничено. Оно решение, т.к. ряд сходится для любых по признаку Даламбера: , сходится при всех , радиус сходимости равен бесконечности. Таким образом, мы получили единственное, с точность до множителя решение: - функция Бесселя первого рода – это первое базисное решение. Случай рассмотрен в следующем пункте. b) общее решение, , , , понятие о функциях . Будем искать решение уравнения Бесселя в виде ряда Тейлора, умноженного на : . Подставим это решение в уравнение , , найдём коэффициенты и выберем ограниченное решение. Подставив решение в уравнение, сравниваем коэффициенты при разных степенях:
Пусть : тогда уравнение решение Бесселя будет: , где - любое нецелое число. Это неограниченное решение значит, оно может выступать в роли второго базисного, но только в случае не целого значения . Пусть - целое число, тогда при . сменим индекс: , получили соотношение: , то есть решения стали линейно зависимыми.. В качестве второго линейно независимого решения уравнения Бесселя можно взять функцию, построенную следующим образом: - это функция Неймана. Её асимптотика . Оно тоже может играть роль базисного уравнения. Могут быть и другие линейно-независимые комбинации (базисные решения): - функции Ханкеля, их асимптотика . Т.о. общее решение уравнения Бесселя имеет вид (линейная комбинация 2-х базисных решений):
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1393)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |