Элементы теории множеств. Операции над множествами

МУЛЬТИМЕДИЙНЫЕ ЛЕКЦИИ

Содержание

МНОЖЕСТВА.. 5

Элементы теории множеств. Операции над множествами. 5

ФУНКЦИЯ.. 8

Понятие функции. Основные свойства функции. 8

Основные элементарные функции и их графики. 9

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.. 13

Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. 13

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.. 15

Предел функции в точке и в бесконечности. Основные теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. 15

ТЕХНИКА ВЫЧЕСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ.. 18

Замечательные приделы. 18

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. МЕХАНИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ. 22

Примеры применения производной в экономике. 28

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ. 31

Исследование функции на монотонность (возрастание и убывание функции) 31

Экстремум функции (исследование функции на экстремум функции) 31

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. 33

Исследование функции на выпуклость и точку перегиба. 34

Асимптоты графика функции. Исследование функции на асимптоты. 35

Общая схема исследования функций и построения графиков. 37

ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА. 40

Свойства неопределенного интеграла и его геометрические свойства. 41

Таблица основных интегралов. 43

ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.. 44

ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ. 51

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. 56

Интегрирование некоторых видов иррациональных функций. 59

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ФОРМУЛА НЬЮТОНА ‒ ЛЕЙБНИЦА. 61

Свойства определенного интеграла. 62

Метод замены переменной в определенном интеграле. 63

Интегрирование по частям в определенном интеграле. 64

КРИВОЛИНЕЙНАЯ ТРАПЕЦИЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, КАК ПРЕДЕЛ ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММЫ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. 65

Определенный интеграл, как предел интегральной суммы. Геометрический смысл определенного интеграла. 66

Геометрический смысл. 66

Геометрические приложения определенного интеграла. 66

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 69

Основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений. 70

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. 71

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. 72

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. 73

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА. 76

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 77

ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА. 80

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. СУММА РЯДА. 83

ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ. ПОНЯТИЕ АБСОЛЮТНОЙ И УСЛОВНОЙ СХОДИМОСТИ ЗНАКОПЕРЕМЕНОГО РЯДА. 87

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ. ТЕОРЕМА Н. АБЕЛЯ. 90

МНОЖЕСТВА

Элементы теории множеств. Операции над множествами.

Определение 1.Множеством называется совокупность некоторых объектов, объединенных в одно целое по какому ‒ либо признаку.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами.

Обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: A, B, …, X, Y, …, а их элементы обозначаются соответствующими прописными буквами: a, b, …, x, y.

Определение 1.1.Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Ø.

Множество можно задать перечислением и описанием.

Пример: ; .

Определение 1.2.Множеством A называется подмножеством B, если каждый элемент множества A является элементом множества B. Символически это обозначают так: A B (A содержится в B).

Определение 1.3.Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов: (A =B).