Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение 1. Функция f(x) называется бесконечно большойфункцией при х →x0, если f(x) = . Определение 2. Функцияf(x) называется бесконечно малой функцией при х →x0, если f(x) = 0. Основные теоремы о пределах функций. Теорема 1.Предел постоянной величины равен самой постоянной: c = c. Теорема 2.Пределсуммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов: = f(x) φ(x). Теорема 3.Пределпроизведения двух функций равен произведению их пределов: = f(x) φ(x). Теорема 4.Предел дроби равен пределу числителя, деленному на передел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю: , ¹ 0. Теорема 5.(О пределе промежуточной функции) Если в окрестности точки x0выполняются неравенства: и = = А, то . ТЕХНИКА ВЫЧЕСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ Замечательные приделы. Пример 1. Будем говорить, что предел отношения двух функций есть неопределенность вида или , если числитель и знаменатель дроби одновременностремятся к нулю или к бесконечности. Раскрыть эти неопределенности – значит вычислить предел отношения , если он существует или установить, что этот предел не существует. Пример 2. Из рассмотренного примера следует правило: чтобы раскрыть неопределенность вида при x→x0 функции, заданной в виде отношения двух многочленов, необходимо в числителе и знаменателе выделить множитель x−x0 и дробь на него сократить. При вычислении пределов отношения двух многочленов при x→ дляраскрытия неопределенности вида надо числитель и знаменатель дроби разделить на x в старшей степени. Пример 3. Пример 4.
Первый замечательный придел. Теорема.Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице.
Следствие 1.
Следствие 2.
Пример 1. Пример 2.
Пример 3. Пример 4. Пример 5. Второй замечательный придел.
– экспонента. Следствие 1.
Пример 1.
Пример 2. Неопределенность Пример 1.
Пример 2.
Квадратный трехчлен. Неопределенность Пример 1.
Пример 2. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. МЕХАНИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ.
Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю. Производная функции в общем виде: Производная функции в точке x0: Операция нахождения производной называется дифференцированием. Пример 1. y = C; где С = const ∆y = C – C = 0;
Пример2. Производная степенной функции:
Механический смысл производной связан с производной от пути. Производная от пути в некоторый момент времени равняется скорости в этот момент времени. Sʹ(t0) = V(t0) или Sʹt = V Sʹʹ(t0) = Vʹ(t0) = a(t0) Пример 3. , t0 = 1c, Решение:
V(t0 = 1) = Sʹʹ(t) = a(t0 = 1) = Sʹʹ (1) = 2 · 1 + 8 = 10 м/с2 Вывод: Производная – это скорость изменения функции. Геометрический смысл производной. Рис.8
Значение производной функции y = f (x)в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна .
Воспользовавшись уравнением прямой , получим уравнение касательной:
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой. Из условия перпендикулярности двух прямых , получим уравнение нормали. Так как
Тогда уравнение нормали имеет вид:
Пример 4. Найти уравнение нормали и касательной к параболе.
Решение: – уравнение касательной.
Теорема.Пусть функции и – дифференцируемы в точке x. Тогда: 1) Производная суммы (разности) двух функций:
2) Производная произведения двух функций:
3) Производная частного двух функций: 4) Производная от переменной равна единице: 5) Производная сложной функции Пусть , тогда является сложной функцией переменной x, а переменную и называют промежуточным аргументом. Сложная функция– это зависимость двух и более функций друг от друга. Производная сложной функции находится по формуле: и Пример 5. 6) Производная обратной функции Пусть функция строго монотонна в интервале , тогда для нее существует обратная функция . Находится по формуле:
Пример 6. Так как Аналогично выводятся производные других функций. 7) Производные гиперболических функций. Гиперболические функции определяются следующими формулами:
Производные гиперболические функции находятся по формулам: 1. 2. 3. 4. Техника дифференцирования: Пример 1.
Пример2. Пример3. Пример4.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (505)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |