Общая схема исследования функций и построения графиков
Алгоритм исследования функции у = f (х): 1. Найти область определения функцииD (y). 2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат (при x = 0 и при y = 0). 3. Исследовать на четность и нечетность функции(y (‒x) = y (x) ‒четность; y(‒x) = ‒y (x) ‒нечетность). 4. Найти асимптоты графика функции. 5. Найти интервалы монотонности функции. 6. Найти экстремумы функции. 7. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции. 8. На основании проведенных исследований построить график функции. Пример.Исследовать функцию и построить ее график. 1) D (y) = x = 4 ‒ точка разрыва. 2) При x = 0, (0; ‒ 5) ‒ точка пересечения с oy. При y = 0, 3) y(‒ x)= функция общего вида (ни четная, ни нечетная). 4) Исследуем на асимптоты. а) вертикальные
б) горизонтальные
в) найдем наклонные асимптоты где ‒ уравнение наклонной асимптоты 5) В данном уравнении не требуется найти интервалы монотонности функции. 6) Эти критические точки разбивают всю область определения функции на интервале (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10)и (10; +∞). Полученные результаты удобно представить в виде следующей таблицы:
Из таблицы видно, что точках = ‒2‒точка максимума, в точкех = 4‒нет экстремума, х = 10 ‒точка минимума. Подставим значение (‒ 3) в уравнение: 9 + 24 ‒ 20 > 0 0 ‒ 20 < 0 25 ‒ 40 ‒ 20 < 0 121 ‒ 88 ‒ 20 > 0 Максимум этой функции равен (‒ 2; ‒ 4) ‒ экстремум максимальный. Минимум этой функции равен (10; 20) ‒ экстремум минимальный. 7) исследуем на выпуклость и точку перегиба графика функции 8)
ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА.
Функцию, восстанавливаемую по ее производной или дифференциалу, называют первообразной. Определение.Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если в каждой точке этого промежутка F'(x) = f(x) или, что тоже, dF(x) = f(x)dx Например, F(x) = sin x является первообразной для f(x) = cos x на всей числовой оси OХ, так как (sin x)' = cos x Если функция F(x) есть первообразная для функции f(x) на [a;b], то функцияF(x) + С, где Cлюбое действительное число, также является первообразной для f(x)при любом значении C. Действительно (F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x). Пример.
тогда Определение.Если F(x) одна из первообразных для функции f(x) на [a;b], то выражение F(x) + С, где C произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом ʃ f (x) dx (читается: неопределенный интеграл от f(x) на dx). Итак, ʃf(x)dx = F(x) + C , где f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx‒ подынтегральным выражением, x ‒ переменной интегрирования, а символ ʃ‒ знаком неопределенного интеграла.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1033)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |