ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
Теорема.Общее решение неоднородного дифференциального уравнения равняется сумме общего решения соответствующего однородного дифференциального уравненияyи частного решения неоднородного уравнения. Для дифференциального уравнения второго порядка, у которого правая часть имеет специальный вид, применяются методы подбора формы записи частного решения по виду ,а затем метод неопределенных коэффициентов. Возможны следующие виды : 1. Если многочлен n ‒ й степени.
где ‒ многочлен, той же степени, что и , но с неопределенными коэффициентами (A, B, C, D…), r‒ число корней характеристического уравнения, равных нулю, то есть r= 0, или r= 1, или r= 2. Пример.
Решение: Подставим в исходное уравнение.
2. Если правая часть уравнения , где α ‒ любое число, тогда , где r ‒ число корней характеристического уравнения, равных α, то есть r= 0, или r= 1, или r= 2. В частном случае , то , где A‒неопределенный коэффициент. Пример.
Решение:
3. Если , a и b‒ действительные числа. ,где r ‒ число корней характеристического уравнения, совпадающих с (если D< 0) и r= 0(если D≥ 0). Пример.
Решение:
D= 0 Ответ: . ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. СУММА РЯДА. Задача суммирования множества слагаемых решается в теории рядов. где u1,u2,u3…., un…–члены бесконечной числовой последовательности, называется числовым рядом. Числа u1,u2,u3…., un… называют членами ряда, а un– общий член ряда. Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n–й частичной суммой ряда. Sn= u1 + u2 +… + un, т.е. S1= u1; S2= u1+ u2 Sn= u1+ u2+…+ un Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел частичной суммы Sn при n , то есть Число S называется суммой ряда. В противном случае: Тогда ряд называется расходящимся. Эталонные ряды. 1. Геометрический ряд (геометрическая прогрессия)
. . Пример.
2. Гармонический ряд.
3. Обобщенный гармонический ряд.
Пример.
. Признаки сходимости знакоположительных рядов Теорема 1. Необходимый признак сходимости. C помощью этого признака можно установить расходимость ряда. Пример.
Достаточные признаки Теорема 1.Признак сравнения рядов. Пусть даны два знакоположительных ряда:
и
Причем тогда, если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1). Если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2). Пример.Исследовать ряд на сходимость:
Сравним этот ряд с геометрическим рядом:
Сравним ряды: и так далее. Следовательно, по признаку сравнения искомый ряд сходится.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (758)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |