Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь


Операции над матрицами и их свойства



2015-12-13 674 Обсуждений (0)
Операции над матрицами и их свойства 0.00 из 5.00 0 оценок




 

Произведение матрицы на число.

Произведением матрицы A на число λназывается такая матрица B, каждый элемент которой находится по формуле:

bij=λ × aij

Пример:

A=

‒ 3A= =

2. Сумма матриц.

Суммой матриц A и B одинаковой размерности называется матрица C, каждый элемент которой находится по формуле: (Cij= Aij +Bij), т.е. матрицы складываются поэлементно.

Пример: + = =

3. Разность матриц.

А ‒ В = А + (1) × В

Пример: = =

4. Произведение матриц.

Произведением матрицы Аm×lна матрицу Вl×nназывается матрица Сm×n,каждый элемент которойcijравен сумме произведений всех элементов i – ой строки матрицы A на соответствующие элементыj ‒ того столбца матрицы B.

Пример:

A2×3= ,B3×3 =

 

= =

 

5. Возведение в степень с натуральным показателем квадратных матриц.

= A×A….A

n ‒ раз.

Пример:

A=

= = =

=

Транспонирование матриц.

Матрица АТ (или АI) называется транспонированной к матрице A, если строки матрицы A заменены соответствующими столбцами матрицы B, т.е. при транспонировании строки и столбцы меняются местами.

А3×2 =

=

Свойства операций.

1. Коммутативность (переместительный закон)

A + B = B + A; т. е. сумма матриц коммутативна.

A × B¹B × A; т. е. произведение не коммутативно.

 

2. Ассоциативность (сочетательный закон)

A + (B + С) = (A + B) + С;

A × (B × С) = (A × B) × С;

 

3. Дистрибутивность (распределительный закон)

(A + B) × С = A×C + B×C;

4. A × E = A.

Определители квадратных матриц и способы их вычисления.

Определителем квадратной матрицы называется число, характеризующее эту матрицу.

 

Определители обозначаются двумя вертикальными чертами:

A│ или ∆ (дельта).

 

Определителем первого порядка квадратной матрицы первого порядка A = (а11) называется число, равное элементу этой матрицы.

 

│а11│= а11.

 

Определителем второго порядка квадратной матрицы A = называется число, вычисляемое по формуле:

 

Пример:

= – 3 × 7 – 6 × (– 5) = – 21+30 = 9.

 

Определителем третьего порядка квадратной матрицы третьего порядка называется число, вычисляемое по формуле:

 

Правило Саррюса (правило треугольника).

Пример 1:

= – 2×1× (–5) + 5×4×(– 4) + 3×2×(– 3) – (– 3) ×1× (– 4) – 4×2×

(– 2) – 5×3 × (– 5) = 10 – 80 –18 –12 +16 +75 = – 9.

Пример 2:

= 45 + 8 ‒ 24 ‒ 60 + 6 ‒ 24 = ‒ 49.

Минором Mij элемента aijквадратной матрицы n ‒ го порядка называется определитель (n ‒ 1) ‒ го порядка, полу­ченный из данной матрицы вычеркиванием i ‒ й строки и j ‒ го стол­бца, на пересечении которых стоит данный элемент.

 

Пример:

;

M11 = = 15 + 2 = 17;

M12 = = – 6 – 6 = –12; и т. д. всего 9 миноров.

Алгебраическим дополнением Aijэлемента aij квадратной матрицы называется его минор, взятый со знаком (‒1)i+j.

 

Пример:

А 11 = (–1)1+1 × M11 = 17.

А 12 = (–1)1+2 × M12 = ‒ 1×M12 = 12.

А 13 = (–1)1+3 × = 4 ‒ 30= – 26; и т.д.

Теорема Лапласа

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

 

по I стр. = ×(–1) 1+2 × + ×(–1) 1+2 ×

 

× + ×(–1) 1+2× ;

 

Пример:

по II стр. = ‒ 2×(–1)2+1 × +5×(–1)2+2 × +1×

×(–1) 2+3× = 2×(–12+4)+5×(9–12)–1×(–6+24) = 16–15–18= – 49.

 



2015-12-13 674 Обсуждений (0)
Операции над матрицами и их свойства 0.00 из 5.00 0 оценок









Обсуждение в статье: Операции над матрицами и их свойства

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓

Отправить сообщение

Популярное:
Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние...
Как построить свою речь (словесное оформление): При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (674)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.006 сек.)