Операции над матрицами и их свойства
Произведение матрицы на число. Произведением матрицы A на число λназывается такая матрица B, каждый элемент которой находится по формуле: bij=λ × aij Пример: A= ‒ 3A= = 2. Сумма матриц. Суммой матриц A и B одинаковой размерности называется матрица C, каждый элемент которой находится по формуле: (Cij= Aij +Bij), т.е. матрицы складываются поэлементно. Пример: + = = 3. Разность матриц. А ‒ В = А + (‒1) × В Пример: ‒ = = 4. Произведение матриц. Произведением матрицы Аm×lна матрицу Вl×nназывается матрица Сm×n,каждый элемент которойcijравен сумме произведений всех элементов i – ой строки матрицы A на соответствующие элементыj ‒ того столбца матрицы B. Пример: A2×3= ,B3×3 =
= =
5. Возведение в степень с натуральным показателем квадратных матриц. = A×A….A n ‒ раз. Пример: A= = = = = Транспонирование матриц. Матрица АТ (или АI) называется транспонированной к матрице A, если строки матрицы A заменены соответствующими столбцами матрицы B, т.е. при транспонировании строки и столбцы меняются местами. А3×2 = = Свойства операций. 1. Коммутативность (переместительный закон) A + B = B + A; т. е. сумма матриц коммутативна. A × B¹B × A; т. е. произведение не коммутативно.
2. Ассоциативность (сочетательный закон) A + (B + С) = (A + B) + С; A × (B × С) = (A × B) × С;
3. Дистрибутивность (распределительный закон) (A + B) × С = A×C + B×C; 4. A × E = A. Определители квадратных матриц и способы их вычисления. Определителем квадратной матрицы называется число, характеризующее эту матрицу.
Определители обозначаются двумя вертикальными чертами: │A│ или ∆ (дельта).
Определителем первого порядка квадратной матрицы первого порядка A = (а11) называется число, равное элементу этой матрицы.
│а11│= а11.
Определителем второго порядка квадратной матрицы A = называется число, вычисляемое по формуле:
Пример: = – 3 × 7 – 6 × (– 5) = – 21+30 = 9.
Определителем третьего порядка квадратной матрицы третьего порядка называется число, вычисляемое по формуле:
Правило Саррюса (правило треугольника). Пример 1: = – 2×1× (–5) + 5×4×(– 4) + 3×2×(– 3) – (– 3) ×1× (– 4) – 4×2× (– 2) – 5×3 × (– 5) = 10 – 80 –18 –12 +16 +75 = – 9. Пример 2: = 45 + 8 ‒ 24 ‒ 60 + 6 ‒ 24 = ‒ 49. Минором Mij элемента aijквадратной матрицы n ‒ го порядка называется определитель (n ‒ 1) ‒ го порядка, полученный из данной матрицы вычеркиванием i ‒ й строки и j ‒ го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Пример: ; M11 = = 15 + 2 = 17; M12 = = – 6 – 6 = –12; и т. д. всего 9 миноров. Алгебраическим дополнением Aijэлемента aij квадратной матрицы называется его минор, взятый со знаком (‒1)i+j.
Пример: А 11 = (–1)1+1 × M11 = 17. А 12 = (–1)1+2 × M12 = ‒ 1×M12 = 12. А 13 = (–1)1+3 × = 4 ‒ 30= – 26; и т.д. Теорема Лапласа Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
по I стр. = ×(–1) 1+2 × + ×(–1) 1+2 ×
× + ×(–1) 1+2× ;
Пример: по II стр. = ‒ 2×(–1)2+1 × +5×(–1)2+2 × +1× ×(–1) 2+3× = 2×(–12+4)+5×(9–12)–1×(–6+24) = 16–15–18= – 49.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (674)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |