Свойства определителей
1. Определитель равен нулю, если содержит: - нулевую строку или нулевой столбец; - две одинаковые строки (столбца); - две пропорциональных строки (столбца). Пример: = 0; = 0; = 0; III = I × (-3).
2. Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя. Пример: = 2× = 2×(30+24+4‒24+8+15) = 2×57= 114.
3. Определитель не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца) умноженные на одно число. Пример: I × 5 + II; I × (‒2) + III; I × (‒ 4) + IV; = = 1×(–1)1+3× . Вырожденные и невырожденные матрицы, обратная матрица.
Матрица А-1называется обратной к матрице A, если при умножении ее на матрицу A, как справа, так и слева, получится единичная матрица. А-1×A=A× А-1=E
Матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен 0, и называется вырожденной, если ее определитель равен 0. Теорема. Обратная матрица А-1существует только тогда, когда матрица невырожденная, т.е. |A| ≠ 0. Алгоритм нахождения. 1. Найти определитель матрицы А. Если │A│= 0, то обратная матрица не существует, если │A│≠ 0, то перейти ко второму шагу. 2. Найти матрицу AT, транспонированную к матрице А. 3. Найти алгебраические дополнения элементов матрицы AT и составить из них матрицу Ã, которая называется присоединенной.
à =
4. Обратную матрицу найти по формуле: 5. Сделать проверку А-1 × A = E
Решение матричных уравнений. Матричное уравнение имеет вид: A × Х= B Умножим обе части уравнения на матрицу А-1 слева: А-1× A ×Х = А-1 × В. Так как А-1×А=Е, то Е×Х = А-1×В. Так какЕ × Х=X, то Х= А-1×В Пример: Дано: А = ; В = ; Найти: X ‒? Решение: 1) │А│= 2) AT= . 3) Ã= . 4) А-1 = × Ã = × = Х= А-1× B = Ответ: Ранг матрицы, нахождение ранга матрицы.
Рангом матрицы называется наивысший порядок не равных нулю миноров этой матрицы.
Обозначается rang (A) или r (A). Теорема 1. Ранг матрицы не превосходит наименьшего из ее размеров. r(A) ≤ min (m; n) Пример: А2×3 = ; r (A) ≤ min (2; 3) = 2, т. е. согласно теореме r (A) ≤ 2. = 3 + 24 = 27 ¹ 0; =>r (A) = 2 (порядок ненулевого минора). Теорема 2. Ранг квадратной матрицы n-го порядка равен ее порядку, если она не вырожденная. Примеры: 1)А3×3 = ; r (A) ≤ 3.
│А│= = 24 + 0 – 4 + 4 – 18 – 0 = 6 ¹ 0 матрица не вырожденная r (A) = 3.
2)А3×3 = ; │А│= 0, т.к. III = I × (– 3) r (A) < 3. = 0 + 5 = 5 ¹ 0 r (A) = 2 (порядок ненулевого минора). Теорема 3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы. Элементарные преобразования матрицы. К элементарным преобразованиям матрицы относятся: 1. Изменение порядка строк (столбцов). 2. Отбрасывание нулевых строк (столбцов). 3. Умножение элементов любой строки (столбца) на одно число. 4. Прибавление к элементам любой строки (столбца) элементов другой строки (столбца), умноженных на одно число. Системы линейных алгебраических уравнений СЛУ (Основные понятия и определения). 1. Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система уравнений вида:
2. Решением системы уравнений (1) называется совокупность чисел x1, x2, … , xn, обращающая каждое уравнение системы в тождество.
3. Система уравнений (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной.
4. Система уравнений (1) называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если у нее более одного решения.
5. В результате элементарных преобразований система (1) преобразуется к равносильной ей системе (т.е. имеющей то же множество решений). К элементарным преобразованиям систем линейных уравнений относятся:
1. Отбрасывание нулевых строк. 2. Изменение порядка строк. 3. Прибавление к элементам любой строки элементов другой строки, умноженных на одно число.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (389)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |