Линейная модель многоотраслевой экономики
В. В. Леонтьевым на основании анализа экономики США и период перед второй мировой войной был установлен важный факт: в течение длительного времени величины меняются очень слабо и могут рассматриваться как постоянные числа. Это явление становится понятным в свете того, что технология производства остается на одном и том же уровне довольно длительное время, и, следовательно, объем потребления j-й отраслью продукции i-й отрасли при производстве своей продукции объема есть технологическая константа. В силу указанного факта можно сделать следующее допущение: для производства продукции j-й отрасли объема нужно использовать продукцию i-й отрасли объема , где ‒ постоянное число. При таком допущении технология производства принимается линейной, а само это допущение называется гипотезой линейности. При этом числа называются коэффициентами прямых затрат. Согласно гипотезе линейности, имеем: (2) Тогда уравнения (1) можно переписать в виде системы уравнений: (3) Введем в рассмотрение векторы ‒ столбцы объемов произведенной продукции (вектор валового выпуска), объемов продукции конечного потребления (вектор конечного потребления) и матрицу коэффициентов прямых затрат: , , (4) Тогда система уравнений (3) в матричной форме имеет вид:
. (5)
Обычно это соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с описанием матричного представления (4) это уравнение носит название модели Леонтьева. Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух целях. В первом, наиболее простом случае, когда известен вектор валового выпуска , требуется рассчитать вектор конечного потребления ‒ подобная задача была рассмотрена выше. Во втором случае уравнение межотраслевого баланса используется для целей планирования со следующей формулировкой задачи: для периода времени T (например, год) известен вектор конечного потребления у и требуется определить вектор валового выпуска. Здесь необходимо решать систему линейных уравнений (5) с известной матрицей A и заданным вектором . В дальнейшем мы будем иметь дело именно с такой задачей. Между тем система (5) имеет ряд особенностей, вытекающих из прикладного характера данной задачи; прежде всего все элементы матрицы A и векторов и должны быть неотрицательными. Пример:Таблица 1 содержит данные баланса трех отраслей промышленности за некоторый период времени. Требуется найти объем валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить соответственно до 60, 70 и 30 условных денежных единиц. Таблица 1
Решение: Выпишем векторы валового выпуска и конечного потребления и матрицу коэффициентов прямых затрат. Согласно формулам (2) и (3), имеем
Матрица A удовлетворяет обоим критериям продуктивности. В случае заданного увеличения конечного потребления новый вектор конечного продукта будет иметь вид
(6)
Требуется найти новый вектор валового выпуска *, удовлетворяющий соотношениям баланса в предположении, что матрица A не изменяется. В таком случае компоненты x1, x2, х3 неизвестного вектора * находятся из системы уравнений, которая согласно (3) имеет в данном случае вид
В матричной форме эта система выглядит следующим образом:
(7) или (8)
где матрица (Е ‒ A) имеет вид
Решение системы линейных уравнений (8) при заданном векторе правой части (6) (например, методом Гаусса) дает новый вектор * как решение системы уравнений баланса (7):
Таким образом, для того чтобы обеспечить заданное увеличение компонент вектора конечного продукта, необходимо увеличить соответствующие валовые выпуски: добычу и переработку углеводородов на 52,2%, уровень энергетики ‒ на 35,8% и выпуск продукции машиностроения ‒ на 85% по сравнению с исходными величинами, указанными в табл. 1. Векторы (основные понятия и определения). Все величины делятся на скалярные и векторные. Скалярные величины характеризуются числовым значением (вес товара, стоимость и т.д.) Векторные величины характеризуются числовым значением и направлением. Вектором называется направленный отрезок, на котором указаны начало, конец и направления.
Обозначается или , ½ ½‒ длина вектора.
Векторы называются коллинеарными, если их направление совпадает или противоположно.
‒ коллинеарные.
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1151)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |