Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов
Пусть = ( ); = ( );
‒ формула для вычисления смешанного произведения. Пример:
Решение: 1) 2) │: 2 – уравнение BCD. 3) кубических единиц. Теорема. Признак компланарности векторов. Для того чтобы векторы , были компланарны, необходимо и достаточно чтобы их смешанное произведение равнялось нулю, т.е. , т.к. объем Vпараллелепипеда = 0 (векторы , в одной плоскости).
Пример: Проверить компланарны ли три вектора = {1; 1; 1}, = {1; 3; 1}, = {2; 2; 2}. Решение: найдем смешанное произведение векторов. · [ × ] = Ответ: вектора компланарны, так как их смешанное произведение равно нулю. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
Пусть плоскость проходит через точки М1 = ( ), М2 = ( ) и М3 = ( ), не лежащие на одной прямой и М (x, y, z) – произвольная точка плоскости. Векторы , и ‒ компланарные, т.к. находятся в одной плоскости. Следовательно, · · = 0.
Запишем это равенство в координатной форме:
‒ уравнение плоскости проходящей через три данные точки. Понятие векторного (линейного) пространства. Вектор в n‒ мерном пространстве. n ‒ мерным вектором называется упорядоченная совокупность n ‒ действительных чисел, записываемых в виде: = ( , , …, ), где ‒ i‒ компонента вектора = . Для n ‒ мерных векторов имеют место операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие следующим свойствам:
1. + = + – коммутативность; 2. + ( + ) = ( + ) + – ассоциативность; 3. l( = (l ) – ассоциативность; 4. l ( + ) = l + l – дистрибутивность; 5. + (‒ ) = .
Линейным векторным пространством называется совокупность n ‒ мерных векторов с действительными компонентами, удовлетворяющих приведенным выше свойствам. Размерность и базис векторного пространства. Вектор называется линейной комбинацией векторов , , …, , если для любых чисел , , …, , не равных нулю одновременно, выполняется равенство: = · + · + … + · Векторы , , …, , называются линейно зависимыми, если их линейная комбинация равняется нулевому вектору.
· + · + … + · = (1)
В противном случае векторы называются линейно независимыми, т. е. равенство (1) выполнится только для = = … = = 0. Совокупность линейно независимых векторов векторного пространства R называется его базисом, а их количество называется размерностью векторного пространства. Если в векторном пространстве Rимеется nлинейно независимых векторов, то размерность этого пространства обозначается dimR = n, dim – размерность (dimension). Векторное пространство размерности n обозначается . Теорема.Если векторы , , … , образуют базис векторного пространства , то любой вектор , можно единственным образом разложить по этим векторам: = + + … + .
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (540)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |