Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы)
Вектор ¹ называется собственным вектором линейного оператора (матрицы ), если выполняется равенство: ( ) = (1) Следовательно, , (т. е. отображается на коллинеарный вектор ). Число l называется собственным значением линейного оператора. Запишем равенство (1) в матричном виде: A·X = l·X; A·X ‒l·X = 0, т. е. (A ‒ l · E) · X = 0 (2) – характеристическое уравнение.
Запишем матричное уравнение (2) в виде однородной системы линейных уравнений: Эта система имеет ненулевое решение, если определитель системы равен нулю, т.е. │A –l·E │= 0 или = 0 (3) Левая часть уравнения (3) является многочленом n‒ степени относительно l. Количество корней уравнения (3) равняется количеству собственных значений l оператора A, а, значит, и количеству собственных векторов этого оператора. Пример: Найти: собственные значения и собственные векторы этого оператора. Решение: Составим характеристический многочлен. │A – l·E │= = . – собственные значения оператора A. 1) при ; ; . Пусть , тогда – первый собственный вектор оператора A. 2) при ; ; . Пусть , тогда
Квадратичные формы.
Пусть L = ( ) ‒ симметричная матрица n‒ го порядка, т.е. = . Определение. Выражение называется квадратичной формой переменных x1, x2, …, xn.
Выражение (1) есть сумма всех квадратов переменных плюс сумма всех удвоенных произведений разных переменных, причем каждый член суммы взят с некоторым коэффициентом. Матрица L называется матрицей квадратичной формы. Построим квадратичную форму. Введем матрицу ‒ столбец переменных матрицу ‒ строку этих переменных Xm = (x1, x2, …, xn) и найдем произведение матриц: После перемножения получим
Следовательно, в матричной форме квадратичная форма может быть представлена в виде = XT ·L ·X . Матрице ‒ столбцу переменных можно поставить в соответствие вектор х, координатами которого в ортобазисе e1, е2, …, еn, будут элементы матрицы ‒ столбца. Тогда выражение (1) можно интерпретировать как числовую функцию векторного аргумента х: (х).
Пример: Найти матрицу квадратичной формы (x)= ‒ +6 ‒ 3 +4 + ‒3
Решение: Общий вид заданной квадратичной формы (x)= + + + + + Поэтому = . Пусть оператор переводит вектор в вектор . Поскольку действие линейного оператора на вектор сводится к умножению некоторой матрицы P = ( ) на матрицу ‒ столбец Y, составленную из координат вектора , запишем линейное преобразование в матричном виде: Х = P· Y. Выясним, как изменяется матрица квадратичной формы при линейном преобразовании векторов х → у:
(x) = где = .
Пусть дополнительно выполняется условие невырожденности матрицы оператора | Р| ¹ 0 и квадратичная форма является числовой функцией вектора : (y) = . Найдем, как изменяется матрица квадратичной формы при линейном преобразовании векторов у → х. Решим матричное уравнение Х = P · Y, умножив обе части равенства слева на . Тогда (y) = = где .
Пример: Как изменится матрица квадратичной формы (x) = ‒ + 2 + 3 при линейном преобразовании векторов .
Решение:Матрица заданной квадратичной формы равна матрица линейного оператора при линейном преобразовании векторов х = (у) имеет вид . Под действием линейного оператора матрица квадратичной формы станет равной , а квадратичная форма примет более простой вид: (y) = .
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (763)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |