Основные свойства функции
Теорема обратная теореме Виета для квадратного уравнения (с доказательством) Теорема. Если числа x1 и x2 таковы, что x1+x2=−p и x1·x2=q, то x1 и x2 являются корнями приведенного квадратного уравнения x2+p·x+q=0. Доказательство. После замены в уравнении x2+p·x+q=0 коэффициентов p и q их выражения через x1 и x2, оно преобразуется в равносильное уравнениеx2−(x1+x2)·x+x1·x2=0. Подставим в полученное уравнение вместо x число x1, имеем равенствоx12−(x1+x2)·x1+x1·x2=0, которое при любых x1 и x2 представляет собой верноечисловое равенство 0=0, так как x12−(x1+x2)·x1+x1·x2=x12−x12−x2·x1+x1·x2=0. Следовательно, x1 – корень уравненияx2−(x1+x2)·x+x1·x2=0, а значит, x1 – корень и равносильного ему уравненияx2+p·x+q=0. Если же в уравнение x2−(x1+x2)·x+x1·x2=0 подставить вместо x число x2, то получим равенство x22−(x1+x2)·x2+x1·x2=0. Это верное равенство, так какx22−(x1+x2)·x2+x1·x2=x22−x1·x2−x22+x1·x2=0. Следовательно, x2 тоже является корнем уравнения x2−(x1+x2)·x+x1·x2=0, а значит, и уравненияx2+p·x+q=0. На этом завершено доказательство теоремы, обратной теореме Виета. Функция. Определение функции. Определение числовой функции. Способы задания функции. График функции. Область определения, область значения функции. Функция — это соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент из другого множества. Основные свойства функции. 1. Четность и нечетность Функция называется четной, если График четной функции симметричен относительно оси 0y Функция называется нечетной, если График нечетной функции симметричен относительно начала координат. 2.Периодичность Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т). График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов. 3. Монотонность (возрастание, убывание) Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1)< f(x2). Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1) > f(x2). 4. Экстремумы Точка Хmax называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmax , выполнено неравенство f(х) f(Xmax). Значение Ymax=f(Xmax) называется максимумом этой функции. Хmax – точка максимума Точка Хmin называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmin , выполнено неравенство f(х) f(Xmin). Значение Ymin=f(Xmin) называется минимумом этой функции. Xmin – точка минимума Xmin, Хmax – точки экстремума 5. Нули функции Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0. Х1,Х2,Х3 – нули функции y = f(x).
Если каждому элементу из множества по какому-либо правилу ставится в соответствие некоторый элемент из множества , то соответствие называется функцией, заданной на множестве со значениями из . Буква в этом обозначении называется знаком функции. Итак, функция (или кратко: или ) представляет собой тройку объектов: , где · множество называется областью задания функции; · множество называется областью значений функции; · — правило, по которому каждому элементу сопоставляется некоторый элемент . Обозначенный буквой каждый элемент множества называется независимой переменной или аргументомфункции. Множество при этом называется областью изменения переменной . Элемент , соответствующий фиксированному элементу называется частным значением функции в точке . Совокупность всех частных значений называется множеством значений функции и является подмножеством области значений . Обозначенный буквой каждый элемент множества есть переменная с областью изменения . Фиксированный элемент из области изменения какой-либо переменной называется значением этой переменной. Область задания функции — множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть задано. Если на множестве задана функция, которая отображает множество в другое множество, то множество называется областью задания функции. Более формально, если задана функция , которая отображает множество в , то есть: , то · множество называется областью задания функции и обозначается , или (от англ. domain — «область»). Обычно предполагается, что . Пусть теперь — такое множество, что для каждого элемента задано значение функции , а множество содержит как множество так и точки, в которых функция не задана. В этом случае множество называется областью отправления функции, а его подмножество называется областью задания функции. Этот факт коротко записывают в виде: . Числовая функция — это функция, принимающая значения в области вещественных чисел и которая задана на произвольном (чаще всего) метрическом пространстве Таковы свойства · дифференцируемости, интегрируемости, суммируемости, измеримости (для произвольных числовых функций); а, также, свойства · чётности (нечётности), монотонности (для вещественнозначных функций вещественного переменного); · аналитичности, многолистности (для комплекснозначных функций комплексного переменного) Способы задан6ия функции: · Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством. · Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. · Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим. · Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами. график функции — это геометрическое место точек плоскости, абсциссы (x) и ординаты (y) которых связаны указанной функцией: точка располагается (или находится) на графике функции тогда и только тогда, когда .
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (398)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |