Третий этап метода конечных разностей
КУРСОВАЯ РАБОТА «Решение краевой задачи линейно-дифференциального уравнения 2-го порядка»
Работу выполнил студент группы 1-СУЗС-1 Трапезников Н.А. Работу приняла доцент Букунова О.В Санкт-Петербург
Понятие краевой задачи Решение дифференциального уравнения – функция, которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество. Выделяются общие и частные решения дифференциального уравнения. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: где с - произвольные постоянные. Частное решение – такое решение, которое получается из общего при определенном значении произвольной постоянной c. Для нахождения частного решения уравнения второго порядка вида:
где p(x), q(x), r(x) - заданные функции. требуется задать два условия. В зависимости от вида этих условий различают две задачи: задачу Коши, краевую задачу. В случае краевой задачи задаются значения искомой функции в каких-либо двух точках интервала интегрирования:
Решение краевой задачи методом конечных разностей (метод сеток) Алгоритм метода заключается в выполнении следующих трех этапов: 1. Замена области непрерывного изменения аргумента областью его дискретного изменения; 2. Замена дифференциального оператора некоторым разностным оператором, формулировка разностного аналога для граничных условий; 3. Решение полученной в результате осуществления первых трех этапов алгебраической системы линейный уравнений Первый этап метода конечных разностей Требуется найти решение дифференциального уравнения на определенном отрезке. Выбираем произвольное число разбиений отрезка – n. Тогда получим (n+1) узел разностной сетки: Шаг сетки h определяется по формуле: Сами узлы вычисляются так: Узлы сетки x0, xn - граничные узлы, x1,x1,x3...xn-1 - внутренние узлы разностной сетки. Второй этап метода конечных разностей Второй этап - замена производных, входящих в данное дифференциальное уравнение, соответствующими конечно-разностными соотношениями. Для этого необходимо выразить значение первой производной в произвольном узле . Введем обозначения:
Рассмотрим три последовательных узла сетки xi-1, xi, xi+1 (рис.1). Второй этап метода конечных разностей (Рис.1) В треугольнике АВС стороны АС=2h, ВС=yi+1-yi-1, тогда
Проведем касательную ML к кривой y(x) в точке M(xi,yi). Обозначим через угол наклона касательной с осью абсцисс. Как известно, касательная – это предельное положение секущей АВ, когда , поэтому при Согласно геометрическому смыслу производной, имеем . Сравнивая выражения , получим аппроксимацию первой производной:
где 0(h2) - бесконечно малая порядка h2 . (1) Для вывода формулы второй производной в разностном виде воспользуемся тем, что , а первую производную запишем по формуле (1) в промежуточных узлах и :
Окончательное выражение второй производной: (2)
Третий этап метода конечных разностей Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка:
где p(x), q(x), r(x) - заданные функции. Обозначим: p(x)=pi , q(x)=qi , r(x)=ri . Используя формулы (1) и (2), перепишем уравнение следующим образом:
Запишем полученное уравнение в следующей форме: , где:
Записав уравнение для всех внутренних узлов сетки, получим систему линейных алгебраических уравнений, состоящую из (n-1) уравнений и содержащую (n+1) неизвестных (y0,y1,...yn) . Недостающие два уравнения получаются из краевых условий.
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (723)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |