Импульсная переходная функция

Переходная функция

 

 

Апериодическая функция - т.к. 1 максимум.

 

Показатели качества переходного процесса:

- время, когда впервые достигается

-время достижения максимума.

3%

 

Перерегулирование:

 

Частота колебаний:

 

n – число колебаний за время регулирования =2.

 

4. Нахождение аналитическое выражения импульсной переходной функции. Выделение составляющей найденной функции, соответствующей доминирующим полюсам, сравнение графиков функции и указанной её составляющей:

С помощью программы MathLab найдем аналитическое выражение импульсной

функции системы. При использовании команды:

 

>>[R,P,K]=residue(num,den),

где результатом выполнения этой команды будут векторы-столбцы вычетов R и полюсов Р.

Так как у нас комплексно-сопряженные полюса и вычеты, то такую пару слагаемых объединим:

Общая формула:

 

 

R =

 

-1.830107623872943e+000 +2.329754097485704e-001i

-1.830107623872943e+000 -2.329754097485704e-001i

-1.141755548076448e-001

1.887195401276764e+000 -3.611595606213505e+000i

1.887195401276764e+000 +3.611595606213505e+000i

 

 

P =

 

-2.223584984572268e+001 +2.845621915179571e+002i

-2.223584984572268e+001 -2.845621915179571e+002i

-3.149957154695964e+001

-2.001568475487227e+000 +7.636819883138676e+000i

-2.001568475487227e+000 -7.636819883138676e+000i

K =

 

[]

1)

 

Где оригинал:

 

2)

Оригинал:

 

3)

Где оригинал:

Импульсная переходная функция:

 

 

Выделим составляющую найденной функции, соответствующую доминирующим полюсам:

И определим ее график:

 

Код программы:

>>T=0:0.001:3

>> y1=3.78*exp(-2*T).*cos(7.63*T)-7.22*exp(-2*T).*sin(7.63*T)

>> ys=3.66*exp(-22.4*T).*cos(284.56*T)-0.48*exp(-22.4*T).*sin(284.56*T)+0.228*exp(-31.49*T)+3.78*exp(-2*T).*cos(7.63*T)-7.22*exp(-2*T).*sin(7.63*T)

>>plot(T,y1,T,ys),grid

5. Установление заключения об устойчивости замкнутой системы, определение запасов устойчивости:

По критерию Найквиста, для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы ЛФЧХ разомкнутой системы в области частот, где ЛАЧХ положительна, принимала значение -180˚ четное число раз или не принимала этого значения, следовательно, данная система устойчива, т.к. ЛФЧХ не принимала значение ни разу в области частот, где ЛАЧХ положительна.

Используя функцию

>>u=w/(1+wh)

>>[g f wg wf]=margin(u)

в пакете Matlab определим:

-запас устойчивости по фазе f и соответствующая частота wf:

f= 2.823307323792499e+001, wf = 8.346297244453146e+000

-запас устойчивости по амплитуде g и соответствующая частота wg:

g = 1.297454986821580e+001

20*lg(g) =20*lg(1.297454986821580e+001)=22,2688,wg = 2.843965094048663e+002

Запас устойчивости по фазе определяется на частоте, при которой ЛАЧХ принимает значение 0.

Запас устойчивости по амплитуде определяется на частоте, при которой ФЧХ принимает значение -180˚.

Построим ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы, используя Матлаб bode(u):

 

6 Построение логарифмической амплитудно-частотную характеристики замкнутой системы, определение полосы пропускания системы, резонансной частоты, показателя колебательности:

Используя программу Матлаб:

>>s=tf('s');

>>w=(250*(0.1*s+1))/(s*(0.75*s+1)*(0.000441*s^2+0.0105*s+1))

>>h=(0.14*s^2)/(0.26*s+1)

>>u=w/(1+w*h)

>>ui=1/((1/w)+h+1)

>>bode(ui)

Показатель колебательности:

Резонансная частота:

.

-

 

Полоса пропускания:

.

.

 

Частота среза:

 

.

.

 

Время регулирования:

 

 

7. Найти уравнения состояния и выхода замкнутой системы. Проверить свойства управляемости и наблюдаемости этих вариантов:

 

Код программы:

>>A=[159948816.4 15438259.76 2902751.12 83237 79.97 1;

15438259.76 2902751.12 83237 79.97 1 0;

2902751.12 83237 79.97 1 0 0;

83237 79.97 1 0 0 0;

79.97 1 0 0 0 0;

1 0 0 0 0 0]

>>B=[159948816.4; 14798464.49; 299936.02;0;0;0]

>>C=inv(A)*B

 

Составим систему для нахождения коэффициентов

 

 

C =

 

1.848625916748493e-012

-2.690774005112822e-012

5.690658141686619e-009

2.999360199997667e+005

-9.187419029849567e+006

-2.407110778052028e+010

 

или

 

d=1.848625916748493e-012; b1=-2.690774005112822e-012;

b2=5.690658141686619e-009; b3=2.999360199997667e+005;

b4=-9.187419029849567e+006; b5=-2.407110778052028e+010;

Уравнение состояния и выхода имеют вид:

 

или для нашей системы:

 

Наблюдаемость и управляемость:

Код программы:

>>K=[B, A*B, A^2*B, A^3*B, A^4*B]

>>rank(K)

ans = 2

>>G=[C;A*C;A^2*C;A^3*C;A^4*C]

>>rank(G)

ans = 5

Если ранг K=n , то система вполне управляемая;

Если ранг G=n , то система вполне наблюдаема,

 

В нашем случае эти условия не выполняются, следовательно наша система наблюдаемая и неуправляемая.