Согласно определению момент инерции твёрдого тела равен

,

где символом обозначена элементарная масса . Элементарная масса равна произведению плотности тела в данной точке на соответствующий элементарный объём

.

Следовательно, момент инерции можно представить в виде

.

Это значение момента инерции является приближенным. Точное значение J получается при замене суммирования на интегрирование, т.е.

.

Эти интегралы берутся по всему объёму тела.

Пример 1: Вычисление момента инерциитонкого стержня массы m и длинной l, вращающегося вокруг оси перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс.

Будем считать стержень однородным, тогда

Другие примеры значений моментов инерции для некоторых тел правильной формы приведём без вычислений.

Пример 2:Полый тонкостенный цилиндр, тонкое кольцо:

- момент инерции цилиндра или

тонкого кольца

Пример 3: Сплошной цилиндр, диск.

- момент инерции сплошного

цилиндра или диска

Разобьем цилиндр высоты hна отдельные концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом rи внешним r+dr. Момент инерции каждого полого цилиндра ( « , поэтому считаем, что расстояние всех точек цилиндра от геометрической оси равно ), масса элементарного цилиндра

( - объем элементарного цилиндра; - плотность материала цилиндра).

Тогда искомый момент инерции сплошного цилиндра

Пример 4: Сплошной шар.

- момент инерции шара.

Заметим, что во всех приведённых примерах, тела предполагаются однородными, и вычисляются моменты инерции относительно центральных осей, т.е. осей проходящих через центр масс.

Момент инерции – мера инерции тел при их вращательном движении. Чем больше момент инерции, тем медленнее изменяется под действием данного момента силы его угловая скорость. Момент инерции зависит от массы тела и от распределения этой массы относительно оси вращения.

Теорема Штейнера: Момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерцииJ₀ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния a между осями :

ВЫВОД ПО ДЕСЯТОМУ ВОПРОСУ:

Момент инерции – мера инерции тел при их вращательном движении. Чем больше момент инерции, тем медленнее изменяется под действием данного момента силы его угловая скорость. Момент инерции зависит от массы тела и от распределения этой массы относительно оси вращения.

Момент инерции тела относительно любой оси вращения равен моменту его инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями

Вопрос № 11.

Момент силы относительно неподвижной осиz называется скалярная величина M_z, равная проекция на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z. Значение момента M_z не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Если ось z совпадает с направлением вектора , то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью

Найдем выражение для работы при вращении тела. Пусть сила F приложена к точке В, находящейся от оси вращения на расстоянии r, α – угол между направлением силы и радиусом–вектором r. Т.к. тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол dφ точка приложения В проходит путь ds=r·dφ, и работа равна произведению проекции силы на величину смещения:

можем записать

,

где – момент силы относительно оси z. Т.о., работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:

dA=dT,

но

поэтому или

учитывая, что получим

или

уравнение представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

ВЫВОД ПО ОДИННАДЦАТОМУ ВОПРОСУ:

Угловое ускорение, приобретаемое твердым телом, прямо пропорционально результирующему моменту всех действующих сил, относительно оси вращения, обратно пропорционально моменту инерции тела относительно этой же оси и направлено в сторону момента сил.

Вопрос № 12.

Моментом импульса вращающегося тела называют физическую величину, равную произведению момента инерции тела I на угловую скорость ω его вращения. Момент импульса обозначается буквой L:

Поскольку

уравнение вращательного движения можно представить в виде:

Окончательно будем иметь:

Это уравнение, полученное здесь для случая, когда I = const, справедливо и в общем случае, когда момент инерции тела изменяется в процессе движения.

Если суммарный момент M внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса L = Iω относительно данной оси сохраняется:

Следовательно,

Это и естьзакон сохранения момента импульса. Иллюстрацией этого закона может служить неупругое вращательное столкновение двух дисков, насажанных на общую ось (рис ).

Неупругое вращательное столкновение двух дисков. Закон сохранения момента импульса: I1ω1 = (I1 + I2)ω.

Закон сохранения момента импульса справедлив для любой замкнутой системы тел. Он выполняется, например, при движении планет по эллиптическим орбитам вокруг Солнца (второй закон Кеплера).

Уравнение вращательного движения тела можно записывать не только относительно неподвижной или равномерно движущейся оси, но и относительно оси, движущейся с ускорением.

Основное уравнение динамики вращательного движения не изменяет своего вида и в случае ускоренно движущихся осей при условии, что ось вращения проходит через центр массы тела и что ее направление в пространстве остается неизменным. Примером может служить качение тела (обруч, цилиндр, шар) по наклонной плоскости с трением.

ВЫВОД ПО ЗАНЯТИЮ:

Поступательное и вращательное движение – два видом механического движения. Кинематическими характеристиками движения являются путь, перемещение, скорость и ускорение.

К вращательному движению применимы все формулы кинематики материальной точки с заменой в них линейных величин на соответствующие угловые.

Динамика изучает различные виды механического движения с учетом их причин. Она устанавливает условия, при которых тела движутся с ускорением, без ускорения, покоятся.

Причина изменения характера движения – приложенная к телу сила. Основные законы динамики – три закона Ньютона.

Закон изменения импульса материальной точки – это второй закон Ньютона в его дифференциальной и интегральной формах. Если на материальную точку силы не действуют или результирующая всех действующих сил равна нулю, то импульс точки сохраняется. Примерами закона сохранения импульса могут служить отдача при стрельбе из огнестрельного оружия, реактивное движение, перемещение осьминогов и т.п.