Доверительный интервал оценки генеральной дисперсии

Построение доверительного интервала для дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности основывается на том, что случайная величина:

(3.24)

имеет c²-распределение Пирсона c n=n–1 степенями свободы. Зададим доверительную вероятность g и определим числа и из условия

.

Числа и , удовлетворяющие этому условию, можно выбрать бесчисленным числом способов. Один из способов состоит в следующем

,

т.е.

и .

Значения чисел и определяются из таблиц для распределения Пирсона. После этого образуем неравенство

В результате получаем следующую интервальную оценку дисперсии генеральной совокупности:

. (3.25)

Иногда это выражение записывают в виде

, (3.26)

или

, (3.27)

где для коэффициентов и составляют специальные таблицы.

Пример 3.10. На фабрике работает автоматическая линия по фасовке растворимого кофе в жестяные 100-граммовые банки. Если средняя масса наполняемых банок отличается от точной, то линии налаживается для подгонки средней массы в рабочем режиме. Если дисперсия массы превышает заданное значение, то линия должна быть остановлена на ремонт и переналадку. Время от времени производится отбор банок с кофе для проверки средней массы и ее колеблемости. Предположим, что с линии в случайном порядке производится отбор банок с кофе и оценка дисперсии s²=18,540. Постройте 95%-й доверительный интервал для генеральной дисперсии s².

Решение. Предполагая, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение, воспользуемся формулой (3.26). По условию задачи уровень значимости a=0,05 и a/2=0,025. По таблицам для c²-распределение Пирсона с n=n–1=29 степенями свободы находим

и .

Тогда доверительный интервал для s² можно записать в виде

,

или

.

Для средне квадратичного отклонения ответ будет иметь вид

. â

Проверка статистических гипотез

Основные понятия

Большинство эконометрических моделей требует многократного улучшения и уточнения. Для этого необходимо проведение соответствующих расчетов, связанных с установлением выполнимости или невыполнимости тех или иных предпосылок, анализом качества найденных оценок, достоверностью полученных выводов. Поэтому знание основных принципов проверки гипотез является обязательным в эконометрике.

Во многих случаях необходимо знать закон распределения генеральной совокупности. Если закон распределения неизвестен, но есть основания предположить, что он имеет определенный вид, то выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по этому закону. Например, можно выдвинуть предположение, что доход населения, ежедневное количество покупателей в магазине, размер выпускаемых деталей имеют нормальный закон распределения.

Возможен случай, когда закон распределения известен, а его параметры нет. Если есть основания предположить, что неизвестный параметр q равен ожидаемому числу q₀, то выдвигают гипотезу: q=q₀. Например, можно выдвинуть предположение о величине среднего дохода населения, среднего ожидаемого дохода по акциям, о разбросе в доходах и т.д.

Под статистической гипотезой H понимают любое предположение о генеральной совокупности (случайной величине), проверяемое по выборке. Это может быть предположение о виде распределения генеральной совокупности, о равенстве двух выборочных дисперсий, о независимости выборок, об однородности выборок, т.е. что закон распределения не меняется от выборки к выборке и др.

Гипотеза называется простой, если она однозначно определяет какое-либо распределение или какой-либо параметр; в противном случае гипотеза называется сложной. Например, простой гипотезой является предположение о том, что случайная величина X распределена по стандартному нормальному закону N(0;1); если же высказывается предположение, что случайная величина X имеет нормальной распределение N(m;1), где a£m£b, то это сложная гипотеза.

Проверяемая гипотеза называется основной или нулевой гипотезой и обозначается символом H₀. Наряду с основной гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу, которую обычно называют конкурирующей или альтернативной гипотезой и обозначают символом H₁. Если основная гипотеза будет отвергнута, то имеет место альтернативная гипотеза. Например, если проверяется гипотеза о равенства параметра q некоторому заданному значению q₀, т.е. H₀:q=q₀, то в качестве альтернативной гипотезы можно рассмотреть одну из следующих гипотез: H₁:q>q₀, H₂:q<q₀, H₃:q¹q₀, H₄:q=q₁. Выбор альтернативной гипотезы определяется конкретной формулировкой задачи.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. Поскольку проверка осуществляется статистическими методами, то в связи с этим с определенной долей вероятности может быть принято неправильное решение. Здесь могут быть допущены ошибки двух видов. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Вероятность ошибки первого рода обозначают буквой a, т.е.

.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Вероятность ошибки второго рода обозначают буквой b, т.е.

.

Последствия указанных ошибок неравнозначны. Первая приводит к более осторожному, консервативному решению, вторая – к неоправданному риску. Что лучше или хуже – зависит от конкретной постановки задачи и содержания нулевой гипотезы. Например, если H₀ состоит в признании продукции предприятия качественной и допущена ошибка первого рода, то будет забракована годная продукция. Допустив ошибку второго рода, мы отправим потребителю брак. Очевидно, последствия этой ошибки более серьезны с точки зрения имиджа фирмы и ее долгосрочных перспектив.

Исключить ошибки первого и второго рода невозможно в силу ограниченности выборки. Поэтому стремятся минимизировать потери от этих ошибок. Отметим, что одновременное уменьшение вероятностей данных ошибок невозможно, т.к. задачи их уменьшения являются конкурирующими. И снижение вероятности допустить одну из них влечет за собой увеличение вероятности допустить другую. В большинстве случаев единственный способ уменьшения обеих вероятностей состоит в увеличении объема выборки.

Правило, в соответствие с которым принимается или отклоняется основная гипотеза, называется статистическим критерием. Для этого подбирается такая случайная величина K, распределение которой точно или приближенно, известно и которая служит мерой расхождения между опытными и гипотетическими значениями.

Для проверки гипотезы по данным выборки вычисляют выборочное (или наблюдаемое) значение критерия K_набл. Затем, в соответствии с распределением выбранного критерия, строится критическая область K_крит. Это такая совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Оставшуюся часть возможных значений называют областью принятия гипотезы. Если ориентироваться на критическую область, то можно совершить ошибку
1-го рода, вероятность которой задана заранее и равна a, называемой уровнем значимости гипотезы. Отсюда вытекает следующее требование к критической области K_крит:

.

Уровень значимости a определяет "размер" критической области K_крит. Однако ее положение на множестве значений критерия зависит от вида альтернативной гипотезы. Например, если проверяется нулевая гипотеза H₀:q=q₀, а альтернативная гипотеза имеет вид H₁:q>q₀, то критическая область будет состоять из интервала (K₂, +¥), где точка K₂ определяется из условия P(K>K₂)=a (правосторонняя критическая область). Если альтернативная гипотеза имеет вид H₂:q<q₀, то критическая область будет состоять из интервала (–¥;K₁), где точка K₁ определяется из условия P(K<K₂)=a (левосторонняя критическая область). Если альтернативная гипотеза имеет вид H₃:q¹q₀, то критическая область будет состоять из двух интервалов (–¥;K₁) и (K₂, +¥), где точки K₁ и K₂ определяются из условий: P(K>K₂)=a/2 и P(K<K₂)=a/2 (двухсторонняя критическая область).

Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформулировать следующим образом. Если K_набл попадает в критическую область, то гипотеза H₀ отвергается и принимается гипотеза H₁. Однако поступая таким образом, следует понимать, что здесь можно допустить ошибку 1-го рода с вероятностью a. Если K_набл попадает в область принятия гипотезы – то нет оснований, чтобы отвергать нулевую гипотезу H₀. Но это вовсе не означает, что H₀ является единственно подходящей гипотезой: просто расхождения между выборочными данными и гипотезой H₀ невелико; однако таким же свойством могут обладать и другие гипотезы.

Мощностью критерия называется вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если верна альтернативная гипотеза; т.е. мощность критерия равна 1–b, где b – вероятность совершить ошибку 2-го рода. Пусть для проверки гипотезы принят определенный уровень значимости a и выборка имеет фиксированный объем. Поскольку в выборе критической области есть определенный произвол, то ее целесообразно строить так, чтобы мощность критерия была максимальной или чтобы вероятность ошибки 2-го рода была минимальной.

Критерии, используемые для проверки гипотез о параметрах распределения, называются критериями значимости. В частности, построение критической области аналогично построению доверительного интервала. Критерии, используемые для проверки согласия между выборочным распределением и гипотетическим теоретическим распределением, называются критериями согласия.