ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Говорят, что на множестве точек плоскости задана функция , если каждой точке поставлено в соответствие одно (однозначная функция) или несколько (многозначная функция) значений комплексного переменного . Мы будем рассматривать только такие функции, для которых множества и являются областями, причем называется областью определения, а областью значений функции . Задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций действительных переменных , :
, (3.1) где , .
Это позволяет свести изучение функции комплексного переменного к изучению двух функций действительных переменных. Геометрически заданную на D однозначную функцию можно рассматривать как отображение точек области D плоскости z в некоторую область G плоскости w. В этом отображении и проявляются свойства функции (рис. 3.1). Точки z, линии , области называют прообразами точек , линий и областей соответственно, а w, , называют образами при отображении . Если в плоскости z кривая задана неявным уравнением , то для нахождения уравнения ее образа в плоскости w при отображении, осуществляемом функцией , достаточно исключить x и y из уравнений
Если кривая задана параметрически уравнениями или , , то можно получить параметрические уравнения , представив действительную и мнимую части как функции параметра t:
. Комплексное число называется пределом функции при , если для любого найдется такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . В этом случае пишут . Существование , где , равносильно существованию и , причем
. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в точке и ее окрестности и , где конечное комплексное число. Функция, непрерывная в каждой точке области D, называется непрерывной в этой области. Для того, чтобы функция была непрерывна в точке , необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мнимая части были непрерывными функциями в точке . Отметим, что понятия предела и непрерывности функции комплексного переменного вводятся аналогично, как это делается для функции действительного переменного. Свойства пределов и непрерывных функции действительного переменного остаются в силе для функций комплексного переменного. Приведем некоторые элементарные функции комплексного переменного.
Дробно - рациональная функция , . (3.2)
в частности, многочлен .
Показательная функция , (3.3)
которая в отличие от функции действительного переменного является периодической функцией с периодом , т.е. .
3. Тригонометрические функции , , (3.4) , (3.5)
Для тригонометрических функций остаются в силе все формулы тригонометрии. В отличие от тригонометрических функций действительного аргумента модули функции и могут быть больше 1.
4. Гиперболические функции , , (3.6)
, . (3.7)
Тригонометрические и гиперболические функции связаны между собой следующими соотношениями:
. (3.8)
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (586)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |