Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь


ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ



2016-01-05 586 Обсуждений (0)
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 0.00 из 5.00 0 оценок




 

Говорят, что на множестве точек плоскости задана функция , если каждой точке поставлено в соответствие одно (однозначная функция) или несколько (многозначная функция) значений комплексного переменного . Мы будем рассматривать только такие функции, для которых множества и являются областями, причем называется областью определения, а областью значений функции .

Задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций действительных переменных , :

 

, (3.1)

где , .

 

Это позволяет свести изучение функции комплексного переменного к изучению двух функций действительных переменных.

Геометрически заданную на D однозначную функцию можно рассматривать как отображение точек области D плоскости z в некоторую область G плоскости w. В этом отображении и проявляются свойства функции (рис. 3.1).

Точки z, линии , области называют прообразами точек , линий и областей соответственно, а w, , называют образами при отображении .

Если в плоскости z кривая задана неявным уравнением , то для нахождения уравнения ее образа в плоскости w при отображении, осуществляемом функцией , достаточно

исключить x и y из уравнений

Рис.3.1

Если кривая задана параметрически уравнениями или , , то можно получить параметрические уравнения , представив действительную и мнимую части как функции параметра t:

 

.

Комплексное число называется пределом функции при , если для любого найдется такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . В этом случае пишут .

Существование , где , равносильно существованию и , причем

 

.

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в точке и ее окрестности и , где конечное комплексное число.

Функция, непрерывная в каждой точке области D, называется непрерывной в этой области.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке , необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мнимая части были непрерывными функциями в точке .

Отметим, что понятия предела и непрерывности функции комплексного переменного вводятся аналогично, как это делается для функции действительного переменного. Свойства пределов и непрерывных функции действительного переменного остаются в силе для функций комплексного переменного.

Приведем некоторые элементарные функции комплексного переменного.

 

Дробно - рациональная функция

, . (3.2)

 

в частности, многочлен .

 

Показательная функция

, (3.3)

 

которая в отличие от функции действительного переменного является периодической функцией с периодом , т.е. .

 

3. Тригонометрические функции

, , (3.4)

, (3.5)

 

Для тригонометрических функций остаются в силе все формулы тригонометрии. В отличие от тригонометрических функций действительного аргумента модули функции и могут быть больше 1.

 

4. Гиперболические функции

, , (3.6)

 

, . (3.7)

 

Тригонометрические и гиперболические функции связаны между собой следующими соотношениями:

 

. (3.8)

 



2016-01-05 586 Обсуждений (0)
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 0.00 из 5.00 0 оценок









Обсуждение в статье: ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓

Отправить сообщение

Популярное:
Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас...
Как построить свою речь (словесное оформление): При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою...
Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (586)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.006 сек.)