Особенности функции в бесконечно удаленной точке
Под точкой понимают абстрактную точку плоскости , окрестностью которой, является множество чисел , удовлетворяющих неравенству , где любое действительное положительное число. Ряд Лорана функции в окрестности точки определяют с помощью замены переменной для функции в окрестности точки . Ряд Лорана в окрестности точки имеет вид
,
где главная часть, правильная часть.
Поведение функции в окрестности бесконечно удаленной точки дает возможность классифицировать ее особенности в этой точке. Точка называется устранимой особой точкой функции, если , где . Ряд Лорана в этом случае не содержит положительных степеней
.
Точка называется полюсом функции, если . Если ряд Лорана в окрестности содержит конечное число положительных степеней:
,
то точка называется полюсом порядка . Точка называется существенно особой для функции, если не существует. Ряд Лорана в этом случае содержит бесконечное число положительных степеней . Заметим, что точка называется нулем порядка функции , если точка является нулем порядка для функции .
УПРАЖНЕНИЯ 95. Найти нули функции и определить их порядки. Решение. Полагая , получим , откуда или . Первое уравнение имеет корни . Корнями второго уравнения являются числа . Итак, точки нули функции . Определим их порядки. Точки нули 2-го порядка, так как они являются нулями 1-го порядка для функции и . В самом деле, в силу (7.6) получаем
Тогда является нулями 1-го порядка данной функции , так как
при .
96. Найти особые точки функции и выяснить их характер: а) б) в) ; г) . Решение.а) Особая точка функции (знаменатель дроби обращается в нуль). Легко видеть, что , значит, согласно (7.2), полюс, причем 3-го порядка, так как по определению (7.3) .
б) Изолированные особые точки простые полюсы, так как для функции точки являются нулями 1-го порядка. Действительно, .
в) Особые точки: . Выясним их характер. Отметим, что в точке обращается в нуль и числитель. Найдем предел функции при
Следовательно, согласно (7.1), точка является устранимой особой точкой. Точка простой полюс, так как для функции эта точка является нулем 1-го порядка. В самом деле, функцию можно представить в виде , где аналитична в точке и . Точки также являются простыми полюсами, так как для функции они являются нулями 1-го порядка в силу того, что .
г) в окрестности особой точки для имеет место следующее разложение: Главная часть лорановского разложения содержит бесконечно много членов. Следовательно, точка является существенно особой для функции .
Замечание. Исследование функции в существенно особой точке можно произвести лишь с использованием ряда Лорана.
97.Определить характер особой точки для функций: а) б) в) г) Решение.а) Точка устранимая особая точка данной функции, так как б) точка полюс функции так как Порядок полюса равен порядку полюса функции в точке , функция же имеет в точке полюс 1-го порядка, так как функция имеет в этой точке нуль 1-го порядка, в чем легко убедиться следующей проверкой: Таким образом, простой полюс данной функции. в) Разложим данную функцию в ряд Лорана в окрестности точки
Так как главная часть ряда Лорана содержит конечное число положительных степеней и старшая степень равна 3, то особая точка есть полюс 3-го порядка данной функции.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (802)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |