С помощью единичной функции соответствие (1.3) можно записать в виде
. Полагая здесь , снова получаем соответствие (1.2)
которое можно записать и так: . 2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ОРИГИНАЛА Требования 1, 2, 3 наложены на функцию неслучайно. Только при таких условиях несобственный интеграл (1.1) сходится и, следовательно, определяет некоторую функцию . Установлено, что условия 1-3, которые удовлетворяют оригиналы, являются достаточными условиями сходимости интеграла Лапласа. Но если является оригиналом, то возникает вопрос, в какой области комплексной плоскости интеграл Лапласа сходится, т.е. существует изображение . Именно с таким вопросом мы столкнулись и дали на него ответ при отыскании изображения единичной и показательной функции, исходя из его определения. Ответ на эти вопросы дает следующая теорема. Теорема (существования изображения).Если функция - является оригиналом, то ее изображение определено для всех значений комплексного переменного , удовлетворяющих условию , т.е. в полуплоскости , где показатель роста функции , и является аналитической функцией в этой области.
Доказательство.Для доказательства первой части теоремы достаточно установить абсолютную сходимость интеграла Лапласа в области . Известно, что абсолютная величина интеграла не больше интеграла от абсолютной величины подынтегральной функции, т.е. . По условию оригинал и, следовательно, выполняется условие 3, согласно которому . Кроме того,
Поэтому . Тогда (2.1) . Отсюда в силу признака сравнения вытекает сходимость интеграла Лапласа, а значит, существование изображения для тех значений р, у которых . Доказательство второй части теоремы, а именно аналитичности функции в полуплоскости сложнее и здесь не будет проведено. Оно основано на свойствах равномерно сходящихся интегралов. Следствие (поведение изображения, на бесконечности). Если точка р стремится в бесконечность так, что , то изображение . Справедливость этого утверждения непосредственно следует из неравенства (2.1). Действительно, , но , а поэтому . Приведенные теорема и следствие позволяют высказать следующее суждение: не всякая функция комплексного переменного р может служить изображением некоторого оригинала . Из аналитичности функции в полуплоскости следует, что все особые точки должны лежать левее прямой (или на самой прямой). По этой причине функция не является изображением: она имеет бесконечное число полюсов на оси . Функция также не является изображением, так как не стремится к нулю, когда . Обсудим полученные в п.1.2 операционные соотношения (1.2) и (1.3) в связи с приведенной теоремой. Правая часть формул–функция определена и аналитична при всех значениях р, кроме , где она имеет полюс.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (769)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |