Что следует из соответствующего свойства несобственного интеграла
Заметим, что если интегралы справа абсолютно сходятся в разных полуплоскостях и то интеграл слева сходится в их общей части. Разумеется, теорема линейности справедлива для любого конечного числа слагаемых:
В частности, при имеем 3.1.2. Изображения простейших функций. В качестве применения теоремы линейности найдем изображения функций где действительное число. По формуле Эйлера имеем
Применяя свойство линейности (3.1), где положено и пользуясь формулой – соответствием (1.3), где следует принять получим
если Аналогично получим
если Итак, (3.2) (3.3) Исходя из определения гиперболических функций
найдем их изображения, пользуясь (3.1) и (1.3):
Это справедливо, когда одновременно выполняется и , т.е. когда . Итак, (3.4) (3.5) 3.1.3. Теорема подобия.Если то для любого числа (3.6) т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на это число. Доказательство.Найдем изображение функции , т.е. . Сделаем замену переменной , откуда найдем , . Тогда . Таким образом, . Проиллюстрируем применение этой теоремы на примере. Найти изображение функции . Допустим, что нам известно соответствие (3.2) только для частного случая, когда , т.е. . Применив теорему подобия к этому соответствию, найдем
Что, естественно, совпадает с полученным ранее результатом. 3.1.4. Теорема смещения. Если , то для любого числа действительного или комплексного имеет место соотношение при , (3.7) т.е. умножение оригинала на функцию влечет за собой «смещение» аргумента изображения на . Доказательство.Если функция является оригиналом, то при любом функция также является оригиналом, так как из оценки вытекает оценка при . Значит показателем роста функции является число , а ее изображение определено в полуплоскости , иначе, для тех значений , для которых . Найдем изображение этой функции: . Легко заключить, что справедливо также соотношение , если . (3.7 а) Теорема смещения дает возможность расширить таблицу соответствий: по известным операционным соотношениям находить изображения тех же функций, умноженных на экспоненту или . На основании теоремы (3.7) и полученных ранее соответствий (3.2), (3.3), найдем . (3.8) Используя (3.7а) и те же соответствия (3.2), (3.3), найдем изображения затухающих колебаний: . (3.9) Аналогично из (3.4) и (3.5) получаем , (3.10) . (3.11) Область комплексной плоскости, в которой имеет место каждое из этих соответствий, оговорена в теореме смещения. Пример 3.1. Найти изображение функций . Решение. Используя свойство линейности и формулы соответствия (3.9), получим .
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (696)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |