Учитывая замечание в п. 1.2.1 об использовании функции Хевисайда для записи оригиналов, соотношение (3.12) можно записать в виде
. (3.12 а) Теорема запаздывания является удобным способом для нахождения изображений кусочно-непрерывных функций, которыми, как правило, описываются импульсные процессы. Часто встречающиеся в технических приложениях кусочно-непрерывные и периодические функции имеют различные аналитические выражения в различных промежутках значений аргумента; с помощью функции Хевисайда они могут быть записаны единым аналитическим выражением, после чего успешно применяется теорема запаздывания для получения изображений ступенчатых и периодических функций. Пример 3.3. Найти изображение импульса
Решение. С помощью функции Хевисайда данную функцию можно записать единым аналитическим выражением . Воспользовавшись соответствием и теоремой смещения, найдем . И, наконец, по свойству линейности получаем . 3.2. Дифференцирование и интегрирование оригиналов Рассмотрим правила отображения операций дифференцирования и интегрирования оригиналов. Следующая теорема устанавливает связь между производными оригинала и его изображением. Теорема дифференцирования оригинала.Если непрерывно дифференцируема на и является оригиналом, то из следует: , (3.13) т.е. дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на параметр и вычитанию , где под следует понимать | . Доказательство.Найдем преобразование Лапласа для
Проинтегрируем по частям, помня, что в точке функция может иметь разрыв первого рода. Положим тогда и
. Значение первого слагаемого зависит от поведения при и . В процессе доказательства теоремы существования изображения была получена оценка
где показатель роста оригинала . При условии . Следовательно, когда Оригинал в точке является либо непрерывной функцией и тогда так как, по определению при , либо имеет разрыв первого рода и тогда существует конечный правый предел, т.е. . Следовательно, . Итак, окончательно получаем . В частности, когда , (3.13 а) Применим правило (3.13) ко второй производной предполагая, что производные любого порядка оригинала существуют и являются оригиналами.
Так же найдем Применив правило (3.13) раз, найдем где Таким образом, получено обобщенное правило соответствия для производной любого порядка оригинала : . (3.14) Если то формула – соответствие (3.14) приобретает простой вид (3.14 а) Пример 3.4. Найти изображение функции если известно ' Решение. Используя (3.13а), получим , Что совпадает с полученным ранее результатом (3.3).
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1067)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |