Учитывая это, из (4.5) получим

(4.7)

Для удобства принимаем, что многочлен имеет степень (а не ), но тогда корни его будут нумероваться от 1 до . И потому формула (4.7) перепишется в виде

(4.8)

Примечание. Простые корни знаменателя дроби являются ее простыми полисами. Используя формулу для вычисления вычетов функции относительно простых полюсов, формуле разложения (4.5) можно придать вид

,

Что совпадает с общим результатом (4.2).

Отметим, что формулы разложения (4.5),(4.8) иногда оказываются применимыми и в том случае, когда изображение имеет бесконечное число полюсов.

II. Знаменатель дроби (4.3) имеет кратные корни. Пусть числа являются корнями кратности соответственно, причем .

Тогда

.

Ввиду громоздкости процедуры определения коэффициентов разложения на простейшие дроби в данном случае для отыскания оригинала будем исходить из формулы (4.2).

Кратные корни знаменателя являются полюсами порядка дроби . Воспользовавшись формулой для вычета функции относительно полюса порядка , из формулы (4.2) получим

(4.9)

В частности, когда все полюса простые , формула (4.9) принимает вид (4.8).

Итак, если изображение является дробно-рациональной функцией от и ее полюса (простые или кратные), то соответствующий оригинал определяется формулой (4.9).

При практическом использовании формулы (4.9) полезно учитывать, что знаменатель содержит множитель и потому может быть записан в виде

, где

Тогда

(4.10)

Пример 4.4. По теореме разложения найти оригинал функции

а) б)

Решение. а) по условию,

,

Знаменатель имеет простые корни; , , . В соответствии с этим случаем воспользуемся формулой (4.5).

Тогда

Здесь

Следовательно,

.

б) здесь . Функция имеет два полюса: полюс 2-го порядка, полюс 3-го порядка. По формуле (4.9) находим

.

Чтобы вычислить первое слагаемое, необходимо сначала найти производную, а затем перейти к пределу при .

.

Для второго слагаемого найдем производную первого порядка от выражения, стоящего в скобках:

.

Тогда

Итак, .

5. ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Операционное исчисление можно рассматривать как своеобразный и эффективный метод интегрирования линейных дифференциальных уравнений и их систем, а также некоторых типов линейных дифференциальных уравнений в частных производных.

5.1. Решение линейных дифференциальных уравнений

с постоянными коэффициентами

Пусть дано линейное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами

, (5.1)

где действительные числа. Требуется найти решение этого уравнения для , удовлетворяющее начальным условиям

. (5.2)