удовлетворяющее условиям
(5.9) при . (5.10) Решение. Умножим каждый член уравнения (5.8) на и проинтегрируем по от до . В результате получим операторное уравнение относительно аргумента : (5.11) При фиксированном интеграл есть лапласово изображение функций , которое обозначим . Итак, в наших обозначениях (5.12) С учетом (5.12) интеграл в левой части уравнения (5.11) можно представить в виде (5.13) К интегралу в правой части (5.11) применим формулу интегрирования по частям. Тогда
С учетом условия (5.9) окончательно получаем (5.14) Подставляя (5.13) и (5.14) в (5.8), будем иметь обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка по аргументу , (5.15) Которое следует решить при условиях (5.16) (5.17) Применяя теорию интегрирования линейных уравнений второго порядка, согласно которой общее решение неоднородного уравнения складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, найдем, что общее решение уравнения (5.15) имеет вид , где и – произвольные постоянные. Определим их из условий (5.16), (5.17). Из ограниченности функции при в силу условия (5,17) следует, что . Из условия (5.16)
получаем . Итак, . По данному изображению определим оригинал – Искомое решение задачи. По формуле (18) из таблицы соответствий Устанавливаем, что , где табулированная функция, так называемый интеграл ошибок, а . Следовательно, . 6. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Список литературы
1. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М: Наука,1968. 2. Болгов В.А. и др. Сборник задач по математике. Специальные разделы математического анализа. / Под. ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича – М.: Наука, 1981. 3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1989. -464 с. 4. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч.II. – М.: Высшая школа, 1980. 5. Жевержеев В.Ф., Кальницкий Л.А. Сапогов Н.А. Специальный курс высшей математики для втузов. – М.: Высшая школа, 1970. 6. Краснов М.А., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М.: Наука, 1981. 7. Кожевников Н.И., Краснощекова Т.И., Шишкин Н.Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. – М.: Наука, 1964. -184 с. 8. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2. – М.: Наука, 1970. 9. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. – М.: Наука, 1979. -320 с. Приложение Таблица оригиналов и изображений
Продолжение прил.
Окончание прил.
* Условие дифференцируемости , можно заменить более удобным для пользования условием непрерывности частных производных этих функций по обеим переменным и . *) Заметим, что если дробь неправильная то стремится к нулю при и, следовательно, не может быть изображением.
Заметимчто если дробь неправильная ( П стремится к нулю при р-*сч-> и, следовательно, не может быть изображением.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (449)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |