Задача № 8. Внецентренное сжатие стержня большой изгибной жесткости

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4

Вариант №13

A=3

B=1

C=4

D=2

 

 

Выполнил студент - шифр:13-ПГБ-313	____________	/В.А.Воронов/
Проверил	____________	/ /

 

Санкт-Петербург

2015г.

 

Содержание:

Задача № 7. 3

Задача № 8. 7

Задача № 11. 9

 

Задача № 7. Косой изгиб стержня

Для заданной балки от нагрузки, действующей в плоскости, отклоненной от вертикали на угол α, необходимо:

1. Построить полную эпюру изгибающих моментов в плоскости действия сил.

2. Подобрать размеры поперечного сечения, приняв [σ] = 20 МПа.

3. Определить положение нейтральной оси.

4. В опасном сечении построить эпюру нормального напряжения.

Исходные данные: а = 2,4м, b = 2,8 м, F₁ = 15кН, М₁=80кНм, q=20кН/м, α=20°

Решение:

1)

Определение опорных реакций:

Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.

Определим реакции опор в соответствии с уравнениями равновесия балки:
ΣY_i=0: R_A-q*2.4+F₁=0;
ΣM_A=0: M_A - q*2.4*(2.4/2) + 2.4*F₁ - M₁ = 0;

Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные:
R_A=q*2.4-F₁=20*2.4 - 15 = 33.00 (кН)
M_A=q*2.4*(2.4/2)-2.4*F₁+M₁=20*2.4*(2.4/2)-2.4*15+80=101.60(кН*м)

Сделаем проверку, составив дополнительное моментное уравнение относительно свободного конца балки:

-5.2*R_A+M_A+q*2.4*(2.8+2.4/2) -2.8*F₁-M₁=

=-5.2*33.00+101.60+20*2.4*(2.8+2.4/2)-2.8*15-80.00=0

 

Построение эпюр (Рис.1):

I. Рассмотрим 1-й участок 0 ≤ z₁ < 2.4

Поперечная сила Q:
Q(z₁) = + R_A - q*(z₁ - 0)
Значения Q на краях участка:
Q₁(0) = + 33 - 20*(0 - 0) = 33 (кН)
Q₁(2.40) = + 33 - 20*(2.4 - 0) = -15 (кН)
На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения:
z = 1.65
Изгибающий момент M:
M(z₁) = + R_A*(z₁) - M_A - q*(z₁)²/2
Значения M на краях участка:
M₁(0) = + 33*(0) - 101.60 - 20*(0 - 0)²/2 = -101.60 (кН*м)
M₁(2.40) = + 33*(2.40) - 101.60 - 20*(2.40 - 0)²/2 = -80 (кН*м)

Локальный экстремум в точке x = 1.65:
M₁(1.65) = + 33*(1.65) - 101.60 - 20*(1.65 - 0)²/2 = -74.38 (кН*м)

II. Рассмотрим 2-й участок 2.4 ≤ x₂ < 5.2

Поперечная сила Q:
Q(z₂) = + R_A - q*(2.4 - 0) + F₁
Значения Q на краях участка:
Q₂(2.40) = + 33 - 20*(2.4 - 0) + 15 = 0 (кН)
Q₂(5.20) = + 33 - 20*(2.4 - 0) + 15 = 0 (кН)
Изгибающий момент M:
M(z₂) = + R_A*(x₂) - M_A - q*(2.4 - 0)*[(z₂ - 2.40) + (2.40 - 0)/2] + F₁*(z₂ - 2.4)
Значения M на краях участка:
M₂(2.40) = + 33*(2.40) - 101.60 - 20*2.4*(0 + 1.20) + 15*(2.40 - 2.4) = -80 (кН*м)
M₂(5.20) = + 33*(5.20) - 101.60 - 20*2.4*(2.80 + 1.20) + 15*(5.20 - 2.4) = -80 (кН*м)

 

 

 

Рис.1

2) Из эпюры изгибающего момента M определяем, что опасным является сечение над левой жесткой заделкой, где M= |M|max = 101.6кНм.

Используем условие прочности:

,

Отсюда

Найдем геометрические характеристики поперечного сечения. Вычислим моменты инерции сечения:

Вычислим моменты сопротивления и коэффициент k:

Вычислим параметр c:

Таким образом, подобраны размеры поперечного сечения.

3) Запишем уравнение нейтральной оси и вычислим угол j:

Отсюда

4) Численные значения напряжений (Рис.2):

Координаты точки А: x(А) = 2c, y(А) = -2c; координаты точки В: x(В) = -2c, y(В) = 2c.

Рис.2

Задача № 8. Внецентренное сжатие стержня большой изгибной жесткости

На стержень заданного поперечного сечения в точке «А» действует сжимающая сила F.

Требуется:

1. Вычертить в масштабе сечение стержня, показав положение главных центральных осей инерции.

2. Определить положение нейтральной линии и показать ее на схеме сечения.

3. Построить эпюру нормального напряжения σ_z и отметить в сечении положение опасных точек.

4. Определить величину допускаемой нагрузки, приняв [s]_р=10 МПа, [s]_с=40 МПа.

Решение:

1)

Рис.3

2) Главные радиусы инерции площади поперечного сечения стержня

вычисляются по формулам:

;

;

Координаты точки «А» приложения внецентренной силы F: х_F = 0,5с, у_F = с

Находим отрезок, отсекаемый нейтральной осью на оси у:

Находим отрезок, отсекаемый нейтральной осью на оси х:

По вычисленным величинам x, y определяется положение нейтральной линии (рис.3).

3) Для построения эпюры нормальных напряжений в формулу

надо подставить координаты точек, наиболее удаленных от нейтральной

линии:

Где, В: X_B=2c, Y_B=2c C: X_C=-2c, Y_C=-2c

4) Допускаемое значение [F] сжимающей силы по сжимающим напряжениям :

Грузоподъемность стержня по растягивающим напряжениям оказалась значительно меньше, чем грузоподъемность по сжимающим напряжениям.

Окончательно принимаем [F]=[F]_с = 137,66*c²