Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах
1. Сначала убедимся, что дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, используя необходимое и достаточное условие: ∂Q∂x=∂P∂y. 2. Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, которые определяют функцию u(x,y): ⎧⎩⎨∂u∂x=P(x,y)∂u∂y=Q(x,y). 3. Интегрируем первое уравнение по переменной x. Вместо постоянной C запишем неизвестную функцию, зависящую от y: u(x,y)=∫P(x,y)dx+φ(y). 4. Дифференцируя по переменной y, подставим функцию u(x,y) во второе уравнение: ∂u∂y=∂∂y[∫P(x,y)dx+φ(y)]=Q(x,y). Отсюда получаем выражение для производной неизвестной функции φ(y): φ′(y)=Q(x,y)−∂∂y(∫P(x,y)dx). 5. Интегрируя последнее выражение, находим функцию φ(y) и, следовательно, функцию u(x,y): u(x,y)=∫P(x,y)dx+φ(y). 6. Общее решение уравнения в полных дифференциалах записывается в виде: u(x,y)=C. Примечание: На шаге 3, вместо интегрирования первого уравнения по переменной x, мы можем проинтегрировать второе уравнение по переменной y. После интегрирования нужно определить неизвестную функцию ψ(x).
Второй закон Ньютона — дифференциальный закон механического движения, описывающий зависимость ускорения тела от равнодействующей всех приложенных к телу сил и массы тела. Один из трёх законов Ньютона. Объектом, о котором идёт речь во втором законе Ньютона, является материальная точка, обладающая неотъемлемым свойством — инертностью, величина которой характеризуется массой. В классической (ньютоновской) механике масса материальной точки полагается постоянной во времени и не зависящей от каких-либо особенностей её движения и взаимодействия с другими телами[1][2][3][4]. Второй закон Ньютона в его наиболее распространённой формулировке утверждает: в инерциальных системах ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению иобратно пропорционально массе материальной точки. В приведённой формулировке второй закон Ньютона справедлив только для скоростей, много меньших скорости света, и в инерциальных системах отсчёта. В инерциальных системах отсчёта ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки. Обычно этот закон записывается в виде формулы: где — ускорение тела, — сила, приложенная к телу, а — масса материальной точки. Или в ином виде:
В инерциальных системах отсчёта производная импульса материальной точки по времени равна действующей на неё силе[6]. где — импульс (количество движения) точки, — её скорость, а — время. При такой формулировке, как и ранее, полагают, что масса материальной точки неизменна во времени[7][8][9]. Иногда в рамках классической механики предпринимались попытки распространить сферу применения уравнения и на случай тел переменной массы. Однако вместе с таким расширительным толкованием уравнения приходилось существенным образом модифицировать принятые ранее определения и изменять смысл таких фундаментальных понятий, как материальная точка, импульс и сила[10][11]. Уравнения, соответствующие данному закону, называются уравнениями движения материальной точки. При независимом выборе единиц массы, силы и ускорения выражение второго закона нужно писать в виде Линейное уравнение первого порядка в стандартной записи имеет вид: Что мы видим? Примечание: Разумеется, в практических примерах эти три слагаемых не обязаны располагаться именно в таком порядке, их спокойно можно переносить из части со сменой знака. Перед тем, как перейти к практическим задачам, рассмотрим некоторые частные модификации линейного уравнения. – Как уже отмечалось, выражение может быть некоторой константой (числом), в этом случае линейное уравнение принимает вид: – Выражение тоже может быть некоторой константой , тогда линейное уравнение принимает вид: . В простейших случаях константа равна +1 или –1, соответственно, линейное уравнение записывается еще проще: или . – Рядом с производной может находиться множитель , зависящий только от «икс»: – это тоже линейное уравнение. Поехали. Пример 1 Решить дифференциальное уравнение Решение: Данное уравнение является линейным и имеет простейший вид: .
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (414)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |