Предел функции в точке и в бесконечности
Рассмотрим сначала понятие предела функции в точке. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 кроме, может быть, самой точки x0. Будем рассматривать поведение f(x) при приближении независимой переменной x к точке x0. Графически понятие предела можно ввести следующим образом. Говорят, что функция y = f(x) имеет пределом число а в точке x0 , если при движении по графику функции так, что абсцисса точки графика приближается к x0 слева или справа, ордината этой точки приближается к значению a (рис. 3.2). При этом по графику приближаемся к точке А. Обозначают этот факт так . Запись под обозначением «lim» называется условием предельного перехода. Здесь это условие .
Существует несколько математических определений предела функции в точке. Наиболее употребительным из них является определение по Коши, также называемое определением на языке .
Число a называется пределом функции y = f(x) в точке x0 тогда и только тогда, когда для любого числа > 0 найдется такое число > 0, зависящее от , что для любого x,не равного x0 и удовлетворяющего неравенству , следует . Используя математические символы, это определение можно записать следующим образом: .
Пусть задано некоторое число > 0. Из определения предела следует, что если число a является пределом функции y = f(x) в точке x0 , то при этом должно существовать число такое, что как только независимая переменная x попадает в вертикальную полосу от до , то значение функции f(x) попадает в горизонтальную полосу от до (см. рис. 5.2).
Рис. 5.2. Предел функции в точке
Как видно из рис. 5.2, также существует число для . Таким образом, если для каждого малого положительного числа найдется такое число , то тогда число a является пределом функции y = f(x) в точке x0.
Можно говорить об одностороннихпределах функции f(x) в точке x0 слева или справа. При определении таких пределов рассматриваются значения x, которые соответственно меньше или больше, чем x0 . Такие пределы обозначаются: слева и справа . На рис. 5.3 графически показан случай, когда существуют односторонние пределы функции y = f(x) слева и справа, но предел функции в точке x0 не существует. Из рис. 3.3 видно, что для функции y = f(x), представленной на графике, ; . Для существования предела функции в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие .
Аналогично можно ввести определение предела функции и при стремлении независимой переменной x к бесконечности. Пусть функция y = f(x) определена при достаточно больших по абсолютной величине значениях независимой переменной x. Тогда число a называется пределом функции y = f(x) в бесконечности тогда и только тогда, когда для любого числа > 0 найдется такое число S > 0, зависящее от , что для любого x, удовлетворяющего неравенству | x | > S, следует | f(x) – a | < . Используя математические символы, это определение можно записать следующим образом: .
Аналогично односторонним пределам в точке можно ввести односторонний предел функции в бесконечности при и при . При рассматривают только такие значения x, которые больше S, а при — те, которые меньше –S. Пределы и могут быть разными (рис. 5.4).
Рис. 5.4. Пределы функции на бесконечностях разных знаков
Из рис. 3.4 видно, что .
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (693)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |