Лекция 12: «Эйлеровы графы»

 

 

Дан граф. Требуется найти в нем маршрут, проходящий по каждому ребру ровно один раз. Начало и конец – в одной вершине.

Такой маршрут называется Эйлеровым циклом, а граф, в котором он существует, называется Эйлеровым графом.

Степень вершины в графе – это число ребер, инцидентных этой вершине.

 

Критерий эйлеровости графа.

Для того, чтобы связный граф без петель был Эйлеровым, необходимо и достаточно, чтобы степень его вершины была четным числом.

 

Планарные графы.

 

Определение.

 

Укладкой графа называется такое его геометрическое изображение, при котором ребра пересекаются только в вершинах. Если существует укладка графа на плоскости, то граф называется планарным.

Сама же укладка графа без пересечения ребер называется плоским графом.

 

Любой граф можно изобразить в трехмерном пространстве без пересечения ребер.

 

 

 

Для любого графа x_i, соединяющего 2 вершины проводим новую плоскость, содержащую эту прямую, а ребро рисуем на плоскости.

 

Граф будет планарным, если существует его укладка на сфере.

 

 

 

Доказательство следует из взаимно однозначного соответствия точек на сфере с точками плоскости из стереографических проекций.

Следствие. Граф любого выпуклого многогранника планарен.

 

Ребра плоского графа разбивают плоскость на несколько частей, одна из которых бесконечна. Эти части и являются гранями плоского графа.

 

Теорема Эйлера о плоских графах.

Формула Эйлера.

 

Для плоского графа справедливо соотношение.

M – N + P = 2.

 

Докажем индукцией по числу граней

P = 1

Если P = 1, то граф – дерево. В нем нет ни одного цикла. У дерева число вершин больше числа ребер на 1.

M = N + 1

N + 1 – N + 1 = 2 – справедливо.

 

Пусть p = k, и утверждение верно.

Тогда оно верно и при P= k+1

Берем ребро графа, отделяющее бесконечную грань от внутренних и удаляем это ребро из графа. Т.к. оно циклическое, то в новом графе g1 (он также будет связным) число вершин M останется прежним.

N1 = N – 1

P1 = P – 1

M = M

k + 1-1 = k

Для g1 справедливо предположение индукции.

M1 + N1 + P1 = 2

M – N – 1 + K = 2

M – N + K – 1 = 2

M – N + P = 2

Что и требовалось доказать.

 

Следствие 1.

Для плоского связного простого графа справедливо соотношение

n <= 3*(m-2)

 

Следствие 2.

Для плоского связного простого графа без треугольных граней справедливо соотношение

n <= 2*(m-2)

 

Следствие 3.

Граф K5 – непланарен.

 

 

 

m > 2

 

И если бы он был плоским, то для него было бы справедливо следствие 1.

 

N <= 3*(m-2)

10 <= 9 – неверно.

Противоречие. Значит, он не может быть нарисован плоским.

 

Следствие 4.

Граф K3-3 непланарен.

 

Нет треугольных граней.

Если бы он был плоским, то для него было бы справедливо следствие 2.

 

9 <= 2*(6-2)

9 <= 8 – неверно.

 

Противоречие из предположения, что он не может быть плоским.

 

Операцией разбиения ребра графа называется следующая процедура:

 

Ребро удаляется из графа, и в граф добавляется новая вершина, соединенная новыми ребрами с концами данного ребра.

 

Два графа называются гомеоморфными, если каждый из них может быть получен из одного и того же графа путем применения конечного числа раз операции разбиения ребер.

 

Теорема Понтрягина – Куратовского.

Чтобы граф был планарным, необходимо и достаточно, чтобы он не содержал гомеоморфных подграфов.