Тема 5. Моделирование поведения потребителя

При изучении поведения потребителя используются функции полезности и спроса. Функции полезности отражают конечные результаты использования различных потребительских товаров и благ.

В пространстве товаров каждой функции полезности соответствует некоторое семейство непересекающихся поверхностей безразличия, соответствующих определенным уровням потребления набора товаров.

Функции полезности могут быть преобразованы в функции покупательского спроса. Для этого необходимо решить задачу оптимального выбора потребителя, т.е. определить какой товар и в каком количестве лучше взять потребителю, что бы максимизировать потребление в рамках своего дохода с учетом цены каждого товара. Математически задача потребительского выбора представляет собой задачу условной оптимизации и формулируется следующим образом:

U(X₁,X₂...X_n)→max

при ограничении

p₁X₁+p₂X₂+...+p_nX_n=I, где

U(X₁,X₂...X_n) – функция полезности, j=1,2, … N – число товаров; p_j – цена товара; X_j – количество потребляемого товара; I – доход потребителя

Решение задачи условной оптимизации для функции полезности 2-х переменных сводится к решению следующей системы уравнений: , в результате решения которой определяются функции потребительского спроса на товары Х₁ и Х₂.

При анализе функций спроса важное значение имеет определение таких экономических показателей как коэффициент эластичности спроса относительно дохода потребителя и коэффициент эластичности спроса относительно цены товара.

Эластичность по доходу представляет собой процентное значение увеличения (уменьшения) спроса на товар при увеличении (уменьшении) дохода на один процент.

Товар называют товаром с неэластичным спросом по доходу, если эта эластичность меньше +1, и с эластичным спросом по доходу, если она больше +1.

Эластичность спроса по цене является мерой чувствительности спроса на изменение цены. Различают прямые и перекрестные эластичности по цене. В первом случае измеряется изменение спроса на товар при изменении на 1% его же цены, во втором — при изменении также на 1% цены другого товара. Эластичный спрос по цене наблюдается, если коэффициент эластичности по модулю больше 1, и неэластичный в противном случае. Важное значение при анализе имеет расчет перекрестного коэффициента эластичности, если перекрестный коэффициент эластичности отрицателен, то товары являются дополняющими, если равен нулю — независимыми, если положителен — конкурирующими.

Пример

Решите задачу потребительского выбора, определив функции спроса на товары X₁ и X₂ при функции полезности потребителя . Рассчитайте спрос на товары Х₁ и Х₂ согласно следующим исходным данным: доход потребителя составляет I=60 усл.д.е., а цены товаров соответственно равны р₁=1, р₂=2 усл.д.е.

Решение задачи потребительского выбора сводится к решению следующей системы уравнений:

Для получения функций спроса необходимо решить полученную систему уравнений в общем виде. Выразим из первого уравнения переменную и подставим во второе уравнение: . Из полученного выражения определим функцию спроса на второй товар: , затем, подставив полученную функцию в выражение для X1, определим функцию спроса на первый товар .

Согласно исходным данным задачи, потребителю при существующих ценах на товар и собственном доходе I=60 усл.ден.ед. необходимо покупать товар Х₁ в количестве 40 ед., товар Х₂ в количестве 10 ед., при этом функция полезности будет максимальной U=11.25

 

 

ВЫБОР ВАРИАНТА И ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Вариант контрольной работы выбирается по таблице 5.

Таблица 5

Выбор варианта контрольной работы

Первая буква фамилии	Последняя цифра шифра
1,0	2,9	3,8	4,7	5,6
А, Ж, Н, У, Я
Б, З, О, М
Г,В, И, П, Ц, Ч
К, Р, Ш, Щ, Е,
Д, Л, Э, Ю, Т
С, Ф, Х, Ё

Задание №1

Решите следующие задачи графическим методом.

Таблица 6

Таблица для выбора задания №1

№	Критерий оптимизации	Ограничения	№	Критерий оптимизации	Ограничения
	X1 + 4X2 ® min	X1 + 5X2 ³ 0 -X1 + 2X2 ³ 0 5X1 - X2 ³ 0 -X1 - 5 X2 £ 0 X1 + 5X2 £ 10 X1 ³ 0, X2 £ 5		X2 ® max	X1 - 6X2 £ 6 -3X1 +X2 £ 3 X1 + 5X2 ³ -5 X1 - 6X2 £ 0 X1 + 5X2 ³ 5 X1 ³ 0, X2 ³ 0
	3X1+X2+2 ® min	X1+X2 ³ 2 X1-X2£ 2 4X1-4X2£-8 X1³1, X2£4		8X1 + 4X2 ®max	X1 + X2 £ 30 5X1 + 2X2 £ 10 X1 ³ 1, X2 ³ 0
	3X1+4X2 ® max	-1 £ -X1+X2 £ 1 X1+X2 ³ -1 -X1+2X2 £ 2 2X1-X2 £ 2 X1 ³ 0 X2 ³ 0		- X2 + 6 ® max	X1 + 4X2 £ 8 -3X1 + X2 £ 0 X1 - 6X2 £ 0 X1 + 2X2 £ 6 3X1 + X2 £ 6 X1 ³ 0 X2 ³ 2
	3X1+8X2 ® max	-2 £ X1+X2 £ 2 -2 £ -X1+X2 £ 2 -1 £ X1 £ 1 X2 ³ 0		2X1+X2+4®max	X1+X2 ³ 4 8X1-4X2 ³ -16 X1³2 X2£9

Продолжение таблицы 6

	X1 - 3X2 ® min	X1-X2£ 3 2X1+X2 ³ 3 X1-3X2£ 1 X1 ³ 0 X2 ³ 0		-X1-2X2+6®min	2X1 - 7 X2 £ 0 X1 + 4X2 ³ 2 2X1 - 3 X2 £ 3 X1 + 4 X2 £ -4 X1 + 3X2 ³ 0 X1 ³ 0, X2 £ 8
	2X1 +3X2 ® min	X1+X2£ 4 6X1+2X2 ³ 8 X1+5X2 ³ 4 0 £ X1 £ 3 0 £ X2 £ 3		3X1 - X2 ® min	2X1 + 5 X2 - 10£ 0 2X1 + X2 £ 6 X1 + 2X2 – 2 ³ 0 X1 ³ 0 X2 ³ 0
	3X1+4X2 ® max	-1 £ -X1+X2 £ 1 X1+X2 ³ -1 -X1+ 2X2 £ 2 2X1-X2 £ 2 X1 ³ 0, X2 ³ 0		4X1 + 2X2 ®max	-X1 + 3X2 £ 9 2X1 + 3X2 £ 18 2X1 - X2 £ 10 X1 ³ 0 X2 ³ 0
	2X1 + X2 ® max	-X1-X2 ³ -4 5X1+ X2 £ 20 2X1- 2X2 £ 7 X1+ X2 £ 4 X1 ³ 0 8 ³ X2 ³ 0		X1 + 3X2 ® max	X1 + 3X2 – 3 ³ 0 2X1 + X2 ³ 0 -X1 - 4X2 £ 0 4X1 - X2 ³ 0 X1 ³ 1 X2 ³ 0
	-X1 +6X2 ® min	X1 + 2X2 ³ 0 4X1+ 2X2 £ 8 X1 - 4X2 £ 0 X1 + 6X2 ³ 4 -2X1 + 4X2 ³ 0 X1 ³ 1, X2 ³ 2		4X2 ® min	X1 - 3X2 £ 3 4X1 + 6X2 £ 8 X1 + 2X2 ³ 0 2X1 - 3X2 £ 0 X1 ³ 0 4 ³ X2 ³ 0
	X1-4X2+6® min	4X1 - X2 ³ 1 X1 + 3X2 ³ 6 2X1 - 6X2 £ 6 X1 + 2X2 ³ 1 X1 ³ 0, X2 ³ 1		3X1 +4X2 ®max	X1 + X2 £ 6 2X1 - X2 ³ 0 X1 + X2 ³ 2 -X1 - 4X2 £ 0 X1 ³ 0, X2 ³ 0
	6X1 - X2 ®max	0 £ X1+X2 £ 6 2 £ 4X1-X2 £ 8 0 £ 2X1 + 3X2£ 12 0 £ X1 £ 1 1 £ X2 £ 3		4X1 + 6X2®min	3X1 + X2 ³ 9 X1 + 2X2 ³ 8 X1 + 6X2 ³ 12 X1 ³ 0, X2 ³ 0
	10X1 - 3X2 ®max	-6 £ X1- 6X2 £ 0 -4 £ 2X1-X2 £ 4 3 £ X1 + 3X2£ 9 X1 ³ 1, X2 ³ 2		-2X1 + 5X2®min	7X1 + 2X2 ³ 14 5X1 + 6X2 £ 30 3X1 + 8X2 ³ 24 X1 ³ 0, X2 ³ 0

Продолжение таблицы 6

	X1 - 3X2 ®max	4X1 + 6X2 ³ 12 2X1 - 8X2 £ 4 6X1 - X2 ³ 0 X1 - 6X2 £ 0 X1 + 3X2 ³ 3 2 ³ X1 ³ 0 6 ³ X2 ³ 1		5X1 - 3X2 ®min	4X1 + 6X2 £ 16 X1 + 3X2 ³ 3 2X1 - 3X2 £ 0 3X1 + 4X2 ³ 6 -X1 - 6X2 £ 0 X1 ³ 0 5 ³ X2 ³ 0
	4X1 + 3X2 ®max	X1 + 2X2 ³ 0 6X1 - X2 £ 12 X1 + 4X2 ³ 2 4X1 + 3X2 ³ 6 X1 ³ 0, X2 ³ 0		3X1 - X2 ®min	2X1 + X2 ³ -4 X1 + 2X2 £ 6 2X1 + X2 ³ 2 X1 ³ 1, X2 ³ 0
	3X1 - 2X2 ®min	-3X1 + 12X2 ³ 4 X1 - 4X2 £ 2 2X1 + 3X2 ³ 6 X1 + X2 ³ 0 1 £ X1 £ 4 0 £ X2 £ 3		4X1 + 6X2 ®max	3X1 + X2 ³ 9 X1 + 2X2 ³ 8 X1 + 6X2 ³ 2 X1 ³ 0, X2 ³ 0

Задание №2

Решить задачу оптимального планирования выпуска продукции симплексным методом[2] при следующих условиях.

Для изготовления двух видов продукции используются три вида сырья. При производстве единицы продукции первого вида затрачивается а1 кг сырья первого вида, а2 кг сырья второго вида и а3 кг сырья третьего вида. При производстве единицы продукции второго вида затрачивается в1 кг сырья первого вида, в2 кг сырья второго вида и в3 кг сырья третьего вида. Запасы сырья первого вида составляют А кг, второго - Б кг, третьего - В кг. Прибыль от реализации единицы продукции первого вида составляет Р₁ руб., от реализации единицы продукции второго вида - Р₂ руб.

Исходные данные в зависимости от варианта приведены в таблице 7.

Таблица 7

Таблица для выбора задания №2

№	а1	а2	а3	в1	в2	в3	А	Б	С	Р1	Р2

Задание №3

Определите требуемые объемы выпуска продукции каждой отрасли, удовлетворяющие внутренний спрос и спрос на конечную продукцию в размере Y_pl при заданном распределении продукции двух отраслей между собой за отчетный период согласно выбранному варианту по таблице 8.

Таблица 8

Таблица для выбора задания №3

№ варианта		Распределение за отчетный период	Планируемый объем конечного потребления (Ypl)
Производственное потребление	Конечная продукция
1 отрасль	2 отрасль
	1 отрасль
2 отрасль
	1 отрасль
2 отрасль		42,5
	1 отрасль
2 отрасль		22,5
	1 отрасль
2 отрасль
	1 отрасль
2 отрасль
	1 отрасль
2 отрасль
	1 отрасль
2 отрасль		17,5
	1 отрасль
2 отрасль
	1 отрасль
2 отрасль
	1 отрасль
2 отрасль
	1 отрасль
2 отрасль
	1 отрасль
2 отрасль		32,5
	1 отрасль
2 отрасль

Продолжение таблицы 8

	1 отрасль
2 отрасль
	1 отрасль
2 отрасль
	1 отрасль
2 отрасль
	1 отрасль
2 отрасль
	1 отрасль
2 отрасль
	1 отрасль
2 отрасль
	1 отрасль
2 отрасль
	1 отрасль
2 отрасль
	1 отрасль
2 отрасль		22,5
	1 отрасль
2 отрасль
	1 отрасль
2 отрасль
	1 отрасль
2 отрасль
	1 отрасль
2 отрасль		42,5
	1 отрасль
2 отрасль		22,5
	1 отрасль
2 отрасль
	1 отрасль
2 отрасль		17,5
	1 отрасль
2 отрасль

Задание №4

Для производственной функции F(K,L) (вид производственной функции зависит от номера вашего варианта таблица 9), где K-объем основных фондов, L – объем трудовых ресурсов (объем ресурсов и выпуск продукции даны в стоимостном выражении) определите следующие основные характеристики.

1. Предельная ресурсоотдача по каждому ресурсу в общем виде;

2. Средняя ресурсоотдача по каждому ресурсу в общем виде;

3. Предельная норма замещения основных фондов на трудовые ресурсы;

4. Коэффициент эластичности по каждому из ресурсов;

5. Рассчитайте основные характеристики при K=N+1; L=Т+2 (где N предпоследняя цифра шифра, а T – последняя цифра шифра), проанализируйте полученные результаты;

6. Постройте семейство изоквант.

Таблица 9

Таблица для выбора задания №4

№	F(K,L)	№	F(K,L)	№	F(K,L)

Задание №5

Решите задачу потребительского выбора, определив функции потребительского спроса на товары при следующей функции полезности потребителя . (N предпоследняя цифра шифра;T – последняя цифра шифра)

Рассчитайте спрос на товар Х₁ и Х₂ согласно исходным данным вашего варианта (таблица 10), если доход потребителя составляет I усл.д.е., а цены товаров соответственно равны р1 и р2 усл.д.е.

Определите прямые и перекрестные коэффициенты эластичности спроса по цене, коэффициент эластичности спроса по доходу потребителя. Проанализируйте полученные результаты.

Таблица 10

Таблица для выбора задания №5

№	I	p1	p2	№	I	p1	p2	№	I	p1	p2