Краткие теоретические сведения. ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

В RLC КОНТУРЕ

 

Цель работы: наблюдение на экране осциллографа графиков периодических и апериодических электрических колебаний, фазовых кривых; измерение с помощью осциллографа периода колебаний, логарифмического декремента затухания, добротности контура, критического сопротивления, сдвига фаз между колебаниями тока и напряжения; сравнение экспериментальных результатов с теоретическими расчетами.

Оборудование:электронный осциллограф, генератор импульсов, набор конденсаторов, набор индуктивностей, магазин резисторов.

 

Краткие теоретические сведения

 

Среди различных электрических явлений большой интерес для физики и техники представляют электрические колебания, при которых некоторые электрические величины (например, сила тока, потенциал или заряд) изменяются во времени. Существуют различные методы и системы для получения электрических колебаний. Одним из простейших источников таких колебаний является электрический колебательный контур.

Рассмотрим простой колебательный контур, состоящий из последовательно соединенных конденсатора С, индуктивности L, резистора R и ключаK (рис. 11.1,а). Если конденсатор зарядить, а затем замкнуть ключ (рис. 11.1,б), то конденсатор начинает разряжаться. В цепи появляется возрастающий токi, в катушке индуктивности - соответствующее магнитное поле.

 

а) б) в)

 

Рис. 11.1.

 

Ток разряда конденсатора i, протекая через катушку, порождает в ней ЭДС самоиндукции. Возникающая ЭДС самоиндукции замедляет разряд конденсатора, а после того, как конденсатор полностью разрядится ЭДС самоиндукции, наоборот, начинает поддерживать ток в прежнем направлении.

В результате этого конденсатор перезарядится, после чего процесс повторится, но движение зарядов будет происходить в противоположном направлении (рис. 11.1,в).

Первоначальная энергия электрического поля заряженного конденсатора во время его разряда переходит в энергию магнитного поля катушки. При перезаряде конденсатора происходит обратный переход энергии магнитного поля катушки в энергию электрического поля конденсатора. В идеальном колебательном контуре сопротивление R равно нулю и возникшие электрические колебания будут незатухающими(рис. 11.2,а).

В реальном колебательном контуре R отлично от нуля, поэтому при протекании тока через него происходит выделение тепла. Вследствие этого общий запас энергии в контуре уменьшается, и колебания затухают(рис. 11.2,б).

С увеличением сопротивления R скорость затухания колебаний увеличивается (рис. 11.2,в), а при достаточно большом значении R колебания вообще не возникают - наблюдается апериодический разряд конденсатора (рис. 11.2,г).

Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим (R_кр).

 

Рис. 11.2.

 

Найдем уравнение, описывающее затухающие электрические колебания в контуре. В соответствии с законом сохранения энергии убыль энергии конденсатора при его разряде -dW_С расходуется на увеличение энергии магнитного поля катушки dW_L и выделение тепла dQ в сопротивлении R:

 

- dWc = dW_L + dQ , (11.1)

 

где W_С - энергия конденсатора, ,

 

W_L - энергия магнитного поля катушки, .

 

Здесьq - заряд конденсатора в данный момент времени, i - сила тока в контуре в этот же момент.

Количество тепла, выделяющееся в проводнике за время dt:

 

dQ = i² R dt.

 

Используя эти соотношения, преобразуем уравнение (11.1):

 

,

,

. (11.2)

 

Так как и dq = i dt,

то выражение (11.2) можно преобразовать к виду

 

.

 

Сократив на dq и используя соотношение

 

,

 

получаем следующее дифференциальное уравнение:

. (11.3)

 

В этом уравнении сделаем следующие замены:

 

, (11.4)

, (11.5)

 

где b - коэффициент затухания, w₀ - собственная частота контура.

Тогда

_. (11.6)

 

Дифференциальное уравнение (11.6) имеет (при b < w ₀) следующее решение:

 

, (11.7)

 

где

 

, (11.8)

 

q₀ и a - некоторые постоянные, соответствующие начальной амплитуде и начальной фазе колебания.

Выражение (11.7) есть уравнение затухающих электрических колебаний, циклическая частота которых равна w, а амплитуда экспоненциально убывает с течением времени (рис. 11.3).

Период этих колебаний:

 

. (11.9)

 

Рис. 11.3.

 

Для малых значений R получим

 

. (11.10)

 

В соответствии с уравнением (11.9) при увеличении сопротивления контура R, период колебаний растет, стремясь к бесконечности при

 

b = w₀. (11.11)

 

Это означает, что колебательный процесс переходит в апериодический. Используя уравнения (11.4) и (11.5) из выражения (11.11) можно получить значение критического сопротивления:

 

. (11.12)

 

Для характеристики затухания колебаний часто пользуются логарифмическим декрементом затухания d и добротностью Q.

Логарифмический декремент затухания равен натуральному логарифму отношения амплитуд колебаний, соответствующих двум моментам времени, отличающимся на период:

 

. (11.13)

 

Здесь A - амплитуда колебаний величины заряда, тока или напряжения (рис. 11.3). Используя уравнение (11.7), можно получить

 

.

 

Для небольших значений R, с учетом уравнений (11.4) и (11.10), логарифмический декремент затухания можно определить через параметры контура:

. (11.14)

 

Пусть t - время релаксации, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e @ 2.71 раз, N_е - число колебаний совершенных за время релаксации. Тогда можно легко доказать, что

 

. (11.15)

Добротность Q представляет собой умноженное на 2p отношение энергии W(t) в данный момент времени t, к энергии, теряемой за период колебания Т:

, (11.16)

 

Если в начальный момент времени (t = 0) энергия контура состоит из энергии заряженного конденсатора, то

 

. (11.17)

Энергия контура через время, равное периоду, уменьшится в соответствии с уменьшившимся зарядом:

 

. (11.18)

 

Подставив выражения (11.17) и (11.18) в уравнение (11.16), получим

 

. (11.19)

 

Из курса математики известно соотношение e ^x » 1+x , выполняющееся для малых значений x: (x << 1).

С учетом этого выражение (11.19) упростится:

 

. (11.20)

 

Добротность можно выразить и через параметры контура, применив формулу (11.14):

 

. (11.21)

 

Из уравнений (11.20) и (11.15) следует также, что добротность пропорциональна числу колебаний в контуре, совершившихся за время релаксации, в течение которого амплитуда уменьшается в e раз:

 

Q = p N_е.

 

В ряде случаев колебательный процесс можно исследовать, изучая взаимозависимость между напряжением u и током i в контуре.

График, изображающий эту зависимость, называется фазовой кривой. Состояние колебательной системы для любого момента времени изобразится точкой на этой кривой (рис. 11.4).

Уравнение фазовой кривой можно получить, используя зависимости тока и напряжения от времени.

Из выражения (11.7) и соотношения u=q/C следует, что

.

 

Сделаем замену , и получим зависимость напряжения на конденсаторе от времени:

 

, (11.22)

 

где Uo - начальная разность потенциалов.

Из уравнения (11.7) можно определить и зависимость тока в контуре от времени

 

 

 

Для малых затуханий b << w, тогда

 

.

 

Обозначим I₀ = q₀ ·w, тогда , то есть

 

. (11.23)

 

Сравнив выражения (11.22) и (11.23), можно увидеть, что колебания силы тока опережают по фазе на колебания напряжения на конденсаторе.

 

Преобразуем выражения (11.22) и (11.23) следующим образом:

 

,

 

.

Если возвести эти уравнения в квадрат и сложить, то получим уравнение фазовой кривой:

 

. (11.24)

 

В случае незатухающих колебаний ( R = 0, b = 0) фазовая кривая имеет форму эллипса (рис. 11.4,а). Для реального контура (R ¹ 0, R < R_кр) фазовая кривая представляет собой скручивающуюся спираль, причем большему сопротивлению контура соответствует большее затухание (рис. 11.4,б и рис. 11.4,в).

При апериодическом колебании, когда сопротивление контура больше критического (R > R_кр), фазовая кривая вырождается в линию, изображенную на рис. 11.4,г.

 

 

Рис. 11.4.