Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Основные формулы

Вероятность P(B) появления события B, которое может произойти только совместно с одним из событий , образующих полную группу попарно несовместных событий, т. е. и , вычисляется по формуле полной вероятности

где . (11)

При этом события обычно называют гипотезами, а числа - вероятностями гипотез.

Условная вероятность гипотезы в предположении, что событие B уже имеет место, определяется по формуле Бейеса:

, ( ) (12)

Вероятности , вычисленные по формуле Бейеса, часто называют вероятностями гипотез.

Решение задач

Пример 1.Имеется четыре одинаковых ящика с электрическими лампочками, причем первый ящик содержит 10 исправных и 2 бракованные лампочки, второй и третий ящики содержат по 5 исправных и по 5 бракованных лампочек, а четвертый ящик содержит только 10 исправных лампочек. Наудачу выбирается один ящик и из него одна лампочка. Какова вероятность того, что эта лампочка окажется исправной?

Решение.Пусть событие B={выбор исправной лампочки}, а гипотезы ={выбор первого ящика}, ={выбор второго ящика}, ={выбор третьего ящика}, ={выбор четвертого ящика}. События образуют полную группу несовместных равновероятных событий, при этом . (Контроль: ). Условные вероятности выбора исправной лампочки из первого, второго, третьего и четвертого ящиков соответственно равны , , . Следовательно, по формуле полной вероятности (11) получим

Пример 2.Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.

Решение.Пусть событие B={извлечение бракованного изделия из второй партии}. В качестве гипотез примем события ={из первой партии переложено во вторую бракованное изделие} и ={из первой партии переложено во вторую небракованное изделие}, при этом, очевидно, , . (Контроль: ). Условные вероятности события B при осуществлении каждой из гипотез соответственно равны , . Отсюда по формуле полной вероятности .

Пример 3.Три организации поставили в контрольное управление счета для выборочной проверки: первая 15 счетов, вторая – 10, третья – 25. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций соответственно таковы: 0,9; 0,8; 0,85. Был выбран один счет, и он оказался правильным. Определить вероятность того, что этот счет принадлежит второй организации.

Решение.Пусть событие B={выбран правильно оформленный счет}. Гипотезы: ={правильно оформленный счет поставила первая организация}, ={правильно оформленный счет поставила вторая организация}, ={правильно оформленный счет поставила третья организация}. События образуют полную группу несовместных событий, при этом: , , . (Контроль: ). По условию ; ; . По формуле полной вероятности найдем . Для нахождения искомой вероятности, т. е. условной вероятности - вероятности того, что правильно оформленный счет принадлежит второй организации, - найдем по формуле Бейеса (12)

.

Пример 4.Предположим, что 5 % всех мужчин и 0,25 % всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Считая, что мужчин и женщин одинаковое число, найти вероятность того, что этот человек: а) мужчина; б) женщина.

Решение.Пусть событие A={выбранный человек оказался дальтоником}. В качестве гипотез примем события ={выбранный человек - мужчина} и событие ={выбранный человек - женщина}. События несовместные, образуют полную группу, . Для нахождения искомых вероятностей, т. е. условных вероятностей и , воспользуемся формулой Бейеса. По формуле полной вероятности сначала найдем P(B). Так как по условию ; , то . Следовательно, по формуле (12):

а) ,

б) .

Отметим, что сумма условных вероятностей гипотез также равна единице ( ).