Граница относительной погрешности суммы (разности) двух приближенных чисел равна частному границы абсолютной погрешности суммы (разности) на модуль суммы (разности) этих чисел

х = а ± h _а h _{а + b} = h _а + h _b h _{а - b} = h _а + h _b

у = b ± h _b

Пример:

1. Найти абсолютную и относительную точность суммы приближенных значений х = 5,1 ± 0,05 и у = 2,3 ± 0,04.

Решение:

х + у = 5,1 +2,3 = 7,4;

h _{а + b} = h _а + h _b; h _{а + b} = 0,05 + 0,04 = 0,09;

; ; Е = 2 % .

Ответ: h _{а + b} = 0,09; Е _{а + b} = 2 % .

2. Найти абсолютную и относительную точность суммы приближенных значений х = 13,25 ± 0,03 и у = 2,219 ± 0,002.

Решение:

1) Определить верные и сомнительные цифры приближенных значений х, у:

х = 13,25 ± 0,03

Цифра 5 в 0,01; h _а = 0,03 £ 0,01; 5 – сомнительная цифра;

Цифра 2 в 0,1; h _а = 0,03 £ 0, 1; 2 – верная цифра;

Следовательно, 3; 1 – верные цифры.

13,25 » 13,3; D х = |13,25 – 13,3| = 0,05;

х = 13,3 ± (0,03+ 0,05); х = 13,3 ± 0,08;

у = 2,219 ± 0,002

Цифра 9 в 0,001; h _а = 0,002 £ 0,001; 9 – сомнительная цифра;

Цифра 1 в 0,01; h _а = 0,002 £ 0,01; 1 – верная цифра;

Следовательно, 2; 2 – верные цифры.

2,219 » 2,22; D у = |2,219 – 2,22| = 0,001;

у = 2,22 ± (0,002+ 0,001); у = 2,22 ± 0,003.

2) Найти сумму приближенных значений х = 13,3 ± 0,08 и у = 2,22 ± 0,003:

х + у = 13,3 +2,22 = 15,52 » 15,5;

3) Найти абсолютную и относительную точность суммы приближенных значений х и у:

h _{а + b} = h _а + h _b; h _{а + b} = 0,08 + 0,003 = 0,083;

; ; Е = 0,6 % .

Ответ: х + у = 15,5 ± 0,083; h _{а + b} = 0,083; Е _{а + b} = 0,6 % .

Правило №2

Граница относительной погрешности произведения двух приближенных чисел равна сумме границ относительных погрешностей этих чисел.

 

Граница абсолютной погрешности произведения двух приближенных чисел равна произведению границы относительной погрешности произведения на модуль произведения этих чисел.

х = а ± h _а Е _{а · b} = Е _а + Е _b

у = b ± h _b h _{а· b} = Е _{а · b} · |аb |

Пример:

1. Найти абсолютную и относительную точность произведения приближенных значений х = 2,3 ± 0,02 и у = 4,7 ± 0,03.

Решение:

х · у = 2,3 · 4,7 = 10,81 » 11;

; ; Е_а = 0,009;

; ; Е_b = 0,007;

Е _{а · b} = Е _а + Е _b; Е _{а · b} = 0,009 + 0,007 = 0,016; Е _{а · b} = 1,6 % ;

h _{а· b} = Е _{а · b} · |аb |; h _{а· b} = 0,016 · 11 = 0,176 £ 0,2; h _{а· b} = 0,2.

Ответ: х · у = 11 ± 0,02; h _{а · b} = 0,02; Е _{а · b} = 1,6 % .

2. Оценить площадь прямоугольника, ширина которого х » 4,2 м с точностью до 1 % , а длина у » 5,4 м с точностью до 1 % .

Решение:

S _{прямоугольника} = х · у » 4,2 · 5,4 = 22,68 » 23 м²

Е_S = Е _{а · b} = Е _а + Е _b; Е _S = 1 % + 1 % = 2 % ; Е _S = 2 % = 0,02;

h_{S =} h _{а· b} = Е _{а · b} · |аb |; h _S = 0,02 · 23 = 0,46.

Ответ: S_{прямоугольника} = 23 ± 0,46 (м²); h _S = 0,46; Е _S = 2 % .

Правило №3

Граница относительной погрешности частного двух приближенных чисел равна сумме границ относительных погрешностей этих чисел.

 

Граница абсолютной погрешности частного двух приближенных чисел равна произведению границы относительной погрешности частного на модуль частного этих чисел.

х = а ± h _а

у = b ± h _b

Пример:

1. Найти абсолютную и относительную точность частного приближенных значений х = 13,496 ± 0,01 и у = 4,73 ± 0,03.

Решение:

1) Определить верные и сомнительные цифры приближенных значений х, у:

х = 13,496 ± 0,01

Цифра 6 в 0,001; h _а = 0,01 £ 0,001; 6 – сомнительная цифра;

Цифра 9 в 0,01; h _а = 0,01 £ 0,01; 9 – верная цифра;

Следовательно, 4; 3; 1 – верные цифры.

13,496 » 13,50; D х = |13,496 – 13,50| = 0,004;

х = 13,50 ± (0,01+ 0,004); х = 13,50 ± 0,014;

у = 4,73 ± 0,03

Цифра 3 в 0,01; h _а = 0,03 £ 0,01; 3 – сомнительная цифра;

Цифра 7 в 0, 1; h _а = 0,03 £ 0,1; 7 – верная цифра;

Следовательно, 4 – верная цифра.

4,73 » 4,7; D у = |4,73 – 4,7| = 0,03;

у = 4,7 ± (0,03+ 0,03); у = 4,7 ± 0,06.

2) Найти частное приближенных значений х = 13,50 ± 0,014 и

у = 4,7 ±0,06:

х : у = 13,50 : 4,7 = 2,8723…» 2,9;

3) Найти абсолютную и относительную точность частного приближенных значений х и у:

Ответ: х : у = 2,9 ± 0,041

Правило №4

Граница относительной погрешности степени приближенного числа равна произведению границы относительной погрешности основания на показатель степени.