Лабораторная работа № 6. Кривые второго порядка
Кривые второго порядка Теоретический минимум
1. Каноническое уравнение окружности. 2. Каноническое уравнение эллипса. 3. Каноническое уравнение гиперболы. 4. Каноническое уравнение параболы. 5. Асимптоты гиперболы. 6. Фокусы эллипса, гиперболы и параболы. 7. Эксцентриситет кривых 2-го порядка. 8. Директрисы кривых 2-го порядка. 9. Определение типа кривой 2-го порядка по ее общему уравнению. 10. Приведение кривой 2-го порядка к главным осям.
Задания 1. Построить кривые по заданным уравнениям. Указать тип кривой.
2. Определить тип кривой второго порядка по ее общему уравнению, привести это уравнение к главным осям и построить соответствующую кривую. Определить координаты вершин и фокусов кривой, записать уравнения директрис и асимптот, если они есть. Вычислить эксцентриситет кривой.
3. Решить задачи:
Справочный материал к 6-й лабораторной работе 1. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола.
2. Общее уравнение кривой второго порядка: А∙x2 + В∙x∙y + С∙y2 + D∙x + E∙y + F = 0, где A, B, C, D, E, F – действительные числа, причем A + B + C > 0.
Примечание: не всякое уравнение А∙x2 + В∙x∙y + С∙y2 + D∙x + E∙y + F = 0 представляет уравнение кривой второго порядка.
3. Окружность – множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра окружности).
4. Каноническое уравнение окружности радиусаRуравнение окружности радиусаR с центром в начале координат): x2 + y2 = R2. 5. Уравнение окружности радиусаRс центром в точке(x0; y0): (x − x0)2 + (y − y0)2 = R2.
6. Эллипс – множество всех точек M плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек (фокусов эллипса) есть величина постоянная, равная 2а, большая, чем расстояние между фокусами 2с: r1 + r2 = 2a > 2c > 0.
7. Каноническое уравнение эллипса: , где 0 < b < a, точки F1(c; 0) и F2(− c; 0) – фокусы эл- липса; точки A1(a; 0), A2(− a; 0), B1(b; 0), B2(− b; 0) – вершины эллипса, отрезок A1A2 длиной 2а – боль- шая ось, отрезок В1В2 длиной 2b – малая ось эл- липса; точка О(0; 0) – центр эллипса; длина отрезка F1F2, равная 2с = 2× , – фокусное расстояние.
8. Гипербола – множество всех точек М плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек (фокусов гиперболы) есть величина постоянная, равная 2а, меньшая, чем расстояние между фокусами 2с: |r1 – r2| = 2а < 2с. 9. Каноническое уравнение гиперболы: , где точки F1(c; 0) и F2(−c; 0) – фокусы гиперболы, точки A1(a; 0), A2(−a; 0) – вершины гиперболы, точка О(0; 0) – центр гиперболы,отрезок A1A2 длиной 2a – действи- тельная ось, отрезок В1В2 длиной2b – мни- мая ось гиперболы, длина отрезка F1F2, рав- ная 2с, – фокусное расстояние, 2c = 2 прямые y = ×х, y = – ×х − асимптоты гиперболы; a > 0, b > 0, c > 0. Если a = b, то гиперболаназывается равносторонней. Гиперболы и или называются сопряженными, они имеют общие асимптоты, ветви гиперболы находятся в верхнем и нижнем секторах этих пересекающихся асимптот и имеют вершины в точках В1 и В2, мнимая ось одной гиперболы является действительной для ей сопряженной и наоборот.
10. Парабола − множество всех точек М плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса параболы) и данной прямой (директрисы параболы).
11. Каноническое уравнение параболы:y2= 2px, где p – фокальный параметр параболы; точка О(0; 0) – вершина параболы; точка F(p/ 2; 0) – фокус параболы; прямая x = − p/ 2 – директриса (фокальный параметр р равен расстоянию от фокуса до директрисы, p > 0); ось абсцисс – ось параболы.
12. Директриса кривой второго порядка(кроме окружности) – прямая, расстояние между которой и любой точкой M на кривой второго порядка пропорционально расстоянию между точкой M и соответствующим фокусом этой кривой. Примечание: директриса и соответствующий ей фокус для эллипса и гиперболы лежат по одну сторону от центра этих кривых; у эллипса и гиперболы по две директрисы; у окружности нет директрис.Задание директрисы и соответствующего ей фокуса полностью определяет все параметры и расположение эллипса, гиперболы и параболы (для точек на ветвях гиперболы, чтобы не перегружать рисунок, указаны расстояния r и d только до фокуса F1).
13. Эксцентриситет ε кривой второго порядка (кроме окружности) – отношение расстояния r от точки M до фокуса кривой второго порядка к расстоянию d от точки M до соответствующей этому фокусу директрисы, т.е. эксцентриситет ε= r/d. Для эллипса ε = r/d = c/a < 1; для гиперболы ε = r/d = c/a > 1; для параболы ε = r/d = 1; у окружности эксцентриситет равен 0.
14. Уравнения директрис кривых второго порядка: уравнения директрис эллипса и гиперболы: х = ± а/e = ± а2/с, где; уравнение директрисы параболы x = − p/ 2.
15. Если алгебраическое уравнениеА∙x2 + В∙x∙y + С∙y2 + D∙x + E∙y + F = 0 задает кривую второго порядка, то тип этой кривой определяется значением определителяd = :при d > 0 кривая 2-го порядка – эллипс (в случае А = С и В = 0 – окружность), при δ < 0 – гипербола, при δ = 0 – парабола. 16. Главные оси кривой второго порядка – координатные оси правой прямоугольной системы координат, в которой уравнение этой кривой является каноническим.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (933)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |