Полная вероятность. Формула Байеса

21. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных, во втором 30 деталей, из них 24 стандартных, в третьем - 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика - стандартная.

22. В первом цехе завода производится в среднем 90% стандартных деталей, во втором - 95%, в третьем - 85%. В сборочном цехе этого же завода поступает 50% деталей из первого цеха, 30% - из второго и 20% - из третьего. Найти вероятность того, что деталь, наудачу взятая сборщиком, окажется стандартной.

23. У сборщика имеются 80 деталей, 36 из которых изготовлены в первом цехе, 24 - во втором и 20 - в третьем. Вероятность того, что деталь, изготовленная в первом цехе, стандартна, равна 0,8, для второго цеха - 0,6 и для третьего цеха - 0,8. Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь стандартна.

24. Имеются два одинаковых по виду ящика. В первом ящике имеются 8 пар обуви 41 размера и 6 пар 42 размера, а во втором ящике 10 пар 41 размера и 4 пары 42 размера. Из выбранного наугад ящика вынули одну пару обуви, оказавшейся 42 размера. Найти вероятность того, что обувь извлечена из первого ящика.

25. Детали для сборки изготовляются на двух станках, из которых первый производит деталей в три раза больше второго. При этом брак составляет в выпуске первого станка 2,5%, а в выпуске второго - 1,5%. Взятая наудачу сборщиком деталь оказалась годной. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором станке.

26. У рыбака есть три излюбленных места рыбалки, которые он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность клева на первом месте равна 1/3, на втором - 1/2, на третьем - 1/4. Рыбак забросил удочку в наугад выбранном месте, и рыбка клюнула. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте.

27. В магазине имеются в продаже однотипные изделия, изготовленные двумя заводами. Заводом № 1 изготовлены 60 % изделий, а остальные изготовлены заводом № 2. Завод № 1 в среднем выпускает 2 % брака, а завод № 2 – 5 % брака. Какова вероятность того, что купленное в магазине изделие окажется бракованным? Найти вероятность того, что изделие было выпущено заводом № 1, если известно, что купленное изделие – бракованное.

28. При проведении эксперимента возникло три равновозможных продолжения выполняемых действий. Предположительно, требуемый результат при выборе первого варианта проведения эксперимента будет достигнут с вероятностью 60 %, второго варианта – 50 % и третьего варианта – 75 %. Какова вероятность того, что необходимый результат был в итоге получен?

29. В больнице лежат больные гриппом (20 %), ангиной (45 %), скарлатиной (25 %) и дифтеритом (10 %). Процент полного излечения больного равен соответственно: для гриппа – 80 %, для ангины – 95 %, для скарлатины – 65 % и для дифтерита – 75 %. Какова вероятность того, что данный больной полностью вылечится? Найти вероятность того, что данный больной болел ангиной, если известно, что он полностью выздоровел.

30. В пирамиде расставлены 10 винтовок, из которых 3 снабжены диоптрическим прицелом. Вероятность поражения цели из обычной винтовки равна 0,45, а из винтовки с диоптрическим прицелом – 0,65. Какова вероятность поражения цели из наугад выбранной винтовки? Найти вероятность того, что выстрел был сделан из винтовки с диоптрическим прицелом, если известно, что мишень не была поражена.

Формула Бернулли.

31. Вероятность осуществления некоторой химической реак­ции при проведении эксперимента определенного вида равна 0,8. Найти вероятность того, что данная реакция произойдет в двух из семи проведенных экспериментов.

32. Всхожесть семян ржи составляет 90%. Чему равна вероятность того, что из 7 посеянных семян взойдет 5?

33. Монета бросается пять раз. Найти вероятность того, что орел выпадет 2 раза.

34. Принимая вероятность появления мальчика при рождении ребенка равной 0,51, найти вероятность того, что в семье с 4 детьми: а) мальчиков нет; б) 1 мальчик; в) 2 мальчика; г) 3 мальчика; д) все дети — мальчики.

35. В квартире 10 лампочек. Вероятность того, что в течение месяца перегорит какая-либо лампочка, равна 0,3. Какова вероятность, что в течение ближайшего месяца не придется менять ни одной лампочки?

36. Партия изделий содержит 5 % брака. Найти вероятность того, что среди вынутых наугад 4-х изделий окажется 2 бракованных.

37. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди них 2 мальчика, если вероятность рождения мальчика равна 0,51.

38. Вероятность обнаружения опечатки на странице книги равна 0,01. Найти вероятность того, что в 500-страничной книге не будет обнаружено опечаток (обнаружение опечаток на различных страницах считать независимыми событиями).

39. Фабрика выпускает 70 % изделий высшего сорта. Найти вероятность того, что в партии из 1000 изделий число первосортных заключено между 652 и 760.

40. Цех выпускает в среднем 80 % продукции 1-го сорта. Какова вероятность того, что в партии из 125 изделий будет больше 100 изделий 1-го сорта?

41. Вероятность изготовления детали высшего сорта равна 0.4. Найти вероятность того, что из 260 деталей половина будет высшего сорта.

42. Вероятность изготовления изделия высшего качества равна 0,8. Найти вероятность того, что среди взятых 60 изделий 30 окажутся высшего качества.

43. Вероятность некоторого события в единичном испытании оставляет 0,004. Найти вероятность того, что в 2500 испытаниях данное событие произойдёт ровно 4 раза.

44. Вероятность наступления события. А в одном опыте равна 0,6. Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях.

45. Монета подброшена 40 раз. Найти вероятность того, что орел выпадает в 25 случаях.

46. Вероятность изготовления изделия высшего качества равна 0,8. Найти вероятность того, что среди взятых 60 изделий 30 окажутся высшего качества.

47. Вероятность появления события А в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие А появится не более 74 раз.