Исключаем значения угла a , при которых знаменатель дроби sin a
обращается в нуль: sin a ¹ 0; a ¹ p k , k Î Z ; Ответ: a ¹ p k , k Î Z . Упражнения: №1. Вычислить значения остальных тр. функций, если известно значение cos a = - , . №2. Вычислить значения остальных тр. функций, если известно значение сtg a = - 2,5 , . №3. Вычислить: а) tg a , если sin a = и ; б) cos a , если сtg a = и . №4. Упростить выражение: а) ; г) ; б) ; д) ; в) ; е) . №5. Доказать тождество, указав область допустимых значений: а) ; г) ; б) ; д) ; в) ; е) . №6. Доказать, что при всех допустимых значениях a значение выражения не зависит от a : 1) ; 2) ; 3) . №7. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения: 1) 1 – (cos 2a –- sin 2a ) ; 3) cos 2a · tg 2a + 5 cos 2a – 1 ; 2) 1 – sin a · cos a · tg a ; 4) sin a + 3sin 2a + 3cos 2a . №8. Доказать тождество: 1) (sin b + sin a ) · ( sin a - sin b ) - (cos a + cos b ) · (cos b – cos a ) = 0; 2) ctg 2 a - cos2a = ctg 2 a · cos2a ; 3) ; 4) . 8. Периодичность тригонометрических функций. Определение: Функция называется периодической, если существует число T ¹ 0, прибавление которого к любому значению аргумента не меняет значения функции, то есть для любого x из области определения функции выполняется равенство . Число T называется периодом функции . Определение: Наименьший среди положительных периодов функции называется основным периодом функции. Теорема: Синус и косинус являются периодическими функциями с основным периодом 2p. sin a = sin (a + 2p ) при a Î (- ∞ ; + ∞) cos a = cos (a + 2p ) при a Î (- ∞ ; + ∞) Теорема: Тангенс и котангенс являются периодическими функциями с основным периодом p. tg a = tg (a + p )
Справедлива следующая теорема.
Теорема: К аргументу любой тригонометрической функции можно прибавлять любое целое число периодов. Из аргумента любой тригонометрической функции можно вычитать любое целое число периодов. sin a = sin (a + 2pк) , к Î Z tg a = tg (a + pк) , к Î Z cos a = cos (a + 2pк) , к Î Z ctg a = ctg (a + pк) , к Î Z
9. Четность, нечетность тригонометрических функций Определение: Функция называется четной, если противоположным значениям аргумента x и – x из области определения соответствует одно и то же значение функции, то есть . Определение: Функция называется нечетной, если противоположным значениям аргумента x и – x из области определения соответствуют противоположные значения функции, то есть .
Теорема: Синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями, косинус является четной функцией. sin (– a) = –sina , ctg (– a) = – ctga , tg (– a) = – tga , cos (– a) = cos a для всех допустимых значений a .
Пример: №1. Найти значения тригонометрических функций: 1) cos 10p ; 2) sin 7p ; 3) ; 4) ctg (– 3570º) . Решение: 1) cos 10p = cos (10p –2p ·5) = cos 0 = 1; 2) sin 7p = sin (7p – 2p ·3) = sin p = 0; 3) ; 4) ctg (– 3570º) = –ctg 3570º =– ctg (3570º – 180º·19) =– ctg (150º–180º) = = –ctg (–30º) =ctg 30º = . №2. Вычислить значение выражения: . Решение: 1. ; 2. ; 3. ; 4. 5. . Ответ: . Упражнения: №1. Вычислить: 1) ; 3) ; 2) ; 4) ; 5) . №2. Найти значение выражения А : 1) ; 2) ; 3) . 10. Тригонометрические функции суммы и разности двух аргументов. 10.1.
Рассмотрим в . ОА- начальный радиус . - радиус-вектор точки М (x1; y1 ), принадлежащей . a = Ð (ОА , ОМ ) = Ð AO М. - радиус-вектор точки N (x2 ; y2 ), принадлежащей . b = Ð (ОА , ОN ) = Ð AO N. j = a - b = Ð (ОМ , ОN ) = Ð М O N . Так как уголj = a - b образован векторами (x1; y1 ) и (x2 ; y2 ) , воспользуемся формулой :
cos (a - b ) = cos a · cos b + sin a · sin b Косинус разности двух углов равен сумме произведений косинусов данных углов и синусов данных углов.
Пример: Вычислить cos 15°. Решение: Представим угол 15° в виде разности углов 45° и 30° , воспользуемся формулой косинуса разности двух углов: cos (a - b) = cos a · cos b + sin a · sin b cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° · cos 30° + sin 45° · sin 30° =
Ответ: cos 15° = 0,945. cos (a + b) = cos a · cos b - sin a · sin b
Косинус суммы двух углов равен разности произведений косинусов данных углов и синусов данных углов. Пример: Вычислить cos 75°. Решение: cos 75° = cos (45° + 30° ) = cos 45° · cos 30° - sin 45° · sin 30° =
Ответ: cos 75° = 0,245. sin (a + b) = sin a · cos b + cos a · sin b Синус суммы двух углов равен сумме произведений синуса первого угла на косинус второго угла и косинуса первого угла на синус второго угла.
sin (a - b) = sin a · cos b - cos a · sin b
Синус разности двух углов равен разности произведений синуса первого угла на косинус второго угла и косинуса первого угла на синус второго угла.
Пример: Вычислить sin (a + b ) , если sin a = , cos b = , < a < p , 0 < b < . Решение: Для вычисления sin (a + b) по формуле sin (a + b) = sin a · cos b + cos a · sin b необходимо найти cos a и sin b . Воспользуемся формулой sin 2 a + cos 2 a = 1 . cos 2 a = 1 - sin 2 a ; sin 2 b = 1 - cos 2 b ;
; так как < a < p , cos a < 0 .
sin b = ; так как 0 < b < , sin b > 0 . . Ответ: . Упражнения: №1. Вычислить: 1) sin 15° ; 3) cos 107° cos 17° + sin 107° sin 17° ; 2) sin 75° ; 4) sin 57° cos 12° - cos 57° sin 12° . №2. Упростить: 1) sin 2b · cos b + cos 2b · sin b; 2) sin (a + b)- sin a · cos b ; 3) sin ( +a )- cos a ; 4) ; 5) sin ( +a ) · cos (a - ) + cos ( +a ) · sin (a - ) ;p < a < , 6) cos (30° + a ) - cos (30° - a ) . №3. Вычислить cos ( - a ) , если tg a = , p < a < . №4. Проверить равенство: а) sin (90° +a ) = cos a ; б) cos (180° +a ) = - cos a ; в) cos (270° -a ) = - sin a . №5. Упростить: 1) 2) .
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (361)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |