Предварительная проверка на нормальность

Проверка на нормальность распределения

Проверка на нормальность распределения играет большую роль, так как многие статистические методы предполагают, что анализируемые с их помощью данные распределены в соответствии с нормой. Необходимость такого сопоставления возникает, когда мы сомневаемся, в какой шкале представлен признак – в порядковой или метрической. А сомнения такие возникают очень часто, так как заранее, как правило, неизвестно, в какой шкале удается измерить изучаемое свойство(исключая случаи явно номинативного измерения).

Наиболее весомым аргументом в пользу того, что признак измерен в метрической шкале, является соответствие выборочного распределения норме. Если индивидуальная изменчивость некоторого свойства есть следствие действия множества причин, то распределение частот для всего многообразия проявлений этого свойства в генеральной совокупности соответствует кривой нормального распределения. Это и есть закон нормального распределения. Он характеризуется тем, что крайние значения признака встречаются достаточно редко, а значения близкие к средней величине – достаточно часто. По форме – это колоколообразная кривая, вершина которой соответствует среднему значению признака, а слева и справа она симметрична. График нормального распределения называется кривой Гаусса.

Нормальным такое распределение называется потому, что оно очень часто встречается в естественнонаучных исследованиях и являлось«нормой» всякого массового случайного проявления признаков. Это распределение следует закону, открытому тремя разными учеными в разное время: Муавром в 1733 в Англии, Гауссом в1809 в Германии, Лапласом в1812 во Франции. Кривая нормального распределения обладает свойствами:

68% испытуемых попадает в промежуток[М-σ; M+σ],

95% [М-2σ; M+2σ],

99% [М-3σ; M+3σ], где М– среднее арифметическое, σ – стандартное отклонение(рисунок4).

 

μ ± 3 σ
	99,7%   μ ± 2 σ
	95,4%   μ ± σ
	68,3%

 

Рисунок4 – Кривая нормального распределения. Свойства кривой нормального распределения

В качественной интерпретации числовых значений дисперсии и стандартного отклонения следует руководствоваться правилом: чем выше значения S² или σ, тем больше разбросаны значения переменной относительно среднего, и наоборот.

 

Целью процедуры проверки нормальности распределения являетсярешение вопроса о возможности применения тех или иных параметрических критериев. Для того, чтобы распределение было нормальным, выборка должна соответствовать условиям репрезентативности и однородности. Нормальное распределение задаётся несколькими параметрами. Среди них среднее арифметическое, стандартное отклонение, эксцесс, асимметрия.

Статистические ошибки репрезентативности(ошибка средней, погрешность) (m) показывают, в каких пределах могут отклоняться отпараметров генеральной совокупности (от математическогоожидания илиистинных значений) частные определения, полученные на основе конкретныхвыборок. Очевидно, величина ошибки тем больше, чем больше варьированиепризнака и чем меньше выборка. Формула нахождения статистической ошибки репрезентативности:

m = σ/корень(n), гдеm – ошибка средней арифметической, σ – стандартное отклонение, n – число значений признака.

В зависимости от эксцесса и стандартного отклонения нормальное распределение может иметь разную форму(рисунок5).

 

Рисунок5 – Формы нормального распределения

Если распределение не является нормальным, то его нельзя охарактеризовать средним арифметическими стандартным отклонением. В таком случае говорят о непараметрических данных, для которых применяются непараметрические методы статистики.

Непараметрические данные – данные, распределение вероятности которых не соответствует нормальному и не может быть задано параметрами нормального распределения.

Вопросы для самоконтроля:

1. Меры центральной тенденции.

2. Меры изменчивости признака.

3. Понятие нормального распределения.

Задания и упражнения:

1. Для данного числового ряда вычиcлите Мо, Мd, М, сделайте выводы: 2 2 2 3 3 4 5 5 5 6 6 6 6 7 7 8.

2. Для данного числового ряда вычислитеD, σ, m, сделайте выводы: 2 2 2 3 3 4 5 5 5 6 6 6 6 7 7 8.

3. Вычислите дисперсии для двух групп:

Группа1 3 2 2 1 1

Группа26 5 5 4 4

Какой будет дисперсия10 значений, полученных путем объединения групп? Объясните полученный результат.

4. Некоторое свойство измеряется при помощи тестовой шкалы(М=500, σ=100). Какая приблизительно доля генеральной совокупности имеет балл от 600 до700?

 

Предварительная проверка на нормальность

 

С помощью вычисленных числовых характеристик можно определить, является ли выборочное распределение близким к нормальному. Если выборочное распределение близко к нормальному (или является таковым), то:

1. в интервалы ± σ, ± 2σи ± 3σдолжны попадать соответственно приблизительно 68%, 95% и 100% выборочных значений;

2. в не слишком маленькой выборке величина коэффициента вариации должна быть не более 33%, т.е. V<0,33 (см., например, [4]);

3. Оценка эксцесса Ê_x и коэффициента асимметрии Ŝ_k должны быть близки к нулю;

4. ≈ Ме≈Мо

Пример 4.В результате измерения температуры раздела фракции бензин-авиакеросин на установке первичной переработки нефти были получены значения температур, приведенные в таблице 1 (в градусах Цельсия).

 

Таблица 1

N	Значение	N	Значение	N	Значение	N	Значение
	133,5		141,5		144,0		137,5
	142,0		139,0		142,5		141,5
	145,5		140,5		139,0		141,0
	144,5		139,0		137,0		142,5
	134,5		143,5		136,0		143,5
	138,5		139,5		137,0		141,0
	144,0		140,5		138,5		147,0
	141,0		140,0		139,0		139,5
	141,5		138,5		139,5		136,5
	139,5		135,0		140,5		142,0
	140,0		139,5		139,5		140,0
	145,0		139,0		140,0
	141,5		138,0		140,5

 

По этой выборке вычислены основные числовые характеристики для объема выборки n = 50:

 

Проведена предварительная проверка на нормальность распределения:

 

1. в интервалы ± σ, ± 2σи ± 3σ, которые в этом случае равны соответственно:

140, 2 ± 2, 78, (137, 40 ÷ 142, 98);

140, 2 ± 5, 56, (134, 64 ÷ 145, 76);

140, 2 ± 8, 34, (131, 86 ÷ 148, 54),

попало, соответственно, 70%, 94% и 100 % выборки;

2. величина ;

3. = 0,19 и Ŝ_k = 0,0083 можно считать близкими к нулю;

4. = 140,2 ≈ = 140,0.

Предварительный анализ показывает, что распределение температуры раздела фракции бензин-авиакеросин не противоречит предположению о нормальности.

Задачи

Для каждой из приведенных выборок вычислить основные числовые характеристики. Провести предварительную проверку на нормальность распределения в задачах 1.1. − 1.3.

1.1.11, 15, 12, 0, 16, 19, 6, 11, 12, 13, 16, 8, 9, 14, 5, 11, 3.

1.2.3,1; 3,0; 1,5; 1,8; 2,5; 3,1; 2,4; 2,8; 1,3.

1.3.Распределение скорости автомобилей на одном из участков шоссе (км/час).

Интервалы	61 – 69	69 – 77	77 – 85	85 – 93	93 – 101
Частота

1.4. Как изменяется выборочное среднее и дисперсия, если результаты наблюдения подвергнуть преобразованию масштаба, т.е. увеличить или уменьшить одновременно в k раз?

 

1.5. Найти выборочную дисперсию и коэффициент вариации признака по данному распределению.

 

Интервалы	9 – 12	12 – 15	15 – 18	18 – 21	21 – 24	24 – 27
mi

 

1.6. Дано распределение. Найдите оценки асимметрии и эксцесса.

 

xi	– 4	– 3	– 2	–1
mi