Понятие вектора. Операции над векторами.

Простейшие задачи Аналитической геометрии на плоскости (деление отрезка в данном отношении, расстояние между двумя точками)

Расстояние между двумя точками

Пусть даны точки А( , В( . Рассматриваем общий случай, когда отрезок АВ не параллелен координатным осям.( )

у

В

 

А С

 

х

 

 

Треугольник АВС-прямоугольный

АС=| |

ВС= |

 

Замечание

у

Рассмотрим случай, когда отрезок АВ параллелен оси Оу. В этом случае абсциссы точек А и В совпадают

 

В

 

х

А

 

 

Легко видеть, что с учетом условия , общая формула дает результат

AB = |

Очевидно, что в случае когда , общая формула дает результат

Деление отрезков в данном отношении

Пусть заданы две различные точки А( , В( .

Точка М делит отрезок АВ в отношении , так что

Необходимо найти координаты точки М

 

У

А

К М

 

F В

 

 

X

 

Треугольники АКМ и BFM подобны по трем углам, тогда мы можем записать равенство

Заметим, что поскольку М лежит между точками А и В, то разности под знаками модуля будут либо одновременно положительны, либо одновременно отрицательны, тогда

(1)

 

Действуя аналогично с абсциссами получим:

(2)

Замечание

Мы рассматривали общий случай, когда отрезок АВ не параллелен осям, несложно убедиться в правильности формул (1) и (2), когда отрезок АВ параллелен оси Ох или Оу

У А

М

В

Х

 

- отсюда следует истинность формулы (1), а формула (2), с учетом того, что , даст результат

Понятие вектора. Операции над векторами.

Вектор- это направленный отрезок, который имеет 2 характеристики- длину и направление.

Два вектора считаются равными, если один из них может быть получен параллельным переносом другого.

Векторы называются СОНАПРАВЛЕННЫМИ, если они лежат на параллельных направлениях и у равных им векторов , имеющих общее начало, концы располагаются по одну сторону от начала.

Векторы называются ПРОТИВОПОЛОЖНО НАПРАВЛЕННЫМИ, если у равных им векторов, имеющих общее начало, концы располагаются по разные стороны от начала.

Длина отрезка АВ есть абсолютная величина (модуль) вектора АВ.

Нулевым называют вектор у которого начало и конец совпадают.

Такой вектор имеет нулевую длину, а направление ему присваивается любое.

СУММА ВЕКТОРОВ:

В

АВ + ВС = СА- правило треугольника

 

А С

а+в

а правило параллелограмма

 

в

СВОЙСТВА ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ

1. Для любых векторов а, в имеет место равенство

а+в=в+а – коммутативность

2. Для любых векторов а, в, с имеет место равенство (а+в)+с=а+(в+с) – ассоциативность

3. Существует нулевой вектор, такой, что для любого вектора а выполняется неравенство: а+0=а (аксиома нейтрального элемента)

4. а+в=0 ( где в-противоположный вектор вектору а, и вектор в обозначается «-а»).

СВОЙСТВА ОПЕРАЦИИ УМНОЖЕНИЯ

1. если λ>0 ( т.е. векторы сонаправлены)

λа = λ а

2. если λ<0 ( т.е. противоположно направленные)

λа = λ * а

3. λ=0, 0*а=0

4. λ (а+в) = λа + λв - дистрибутивность

5. (λ+М)*а = λа + Ма – дистрибутивность

6. (λ*М)*а = λ(М*а) – ассоциативность 7. 1*а=а